Математическая логика на самом деле состоит из двух отдельных частей: во-первых, применением методов формальной логики в математике и математическом суждении, и, во-вторых, применением методов математики для представления и анализа формальной логики.
Амбициозные попыткой использования логики в математике был логицизм, предложенный и развитый в трудах философов-логиков, таких как Готлоб Фреге и Бертран Рассел : его основной идеей был взгляд что математические теории являются логическими тавтологиями. Программой этого направления было сведение математики к логике. Усилия в этом направлении оказались неудачными: сперва неудача Фреге когда было предложено парадокс Рассела, затем неудача Программы Гильберта вызвана открытием теоремы Геделя о неполноте.
Как утверждение Программы Гильберта, так и доказательство ее некорректности Геделем стали возможными благодаря их трудам заложивших основы второго направления математической логики, применение математики в логике в форме теории доказывания. Несмотря на негативный характер теоремы Геделя о неполноте, она является свидетельством того, насколько близко к цели были логицисты: каждая строго определенная математическая теория может быть корректно описана логичной теорией первого порядка, а исчисление доказательств Фреге является достаточным чтобы описать всю математику, хотя не является ей эквивалентным.
Кроме теории доказывания и теории моделей, теория множеств была источником многих важных проблем в математической логике, от аксиомы выбора в аксиом больших кардинальных чисел.
Четвертая важная составная часть математической логики, теория рекурсии описывает идею вычислений в терминах логики и математики. Важнейшими достижениями здесь есть нерозв "язнисть Entscheidungsproblem доказана Аланом Тьюринга, и формулировка гипотезы Тьюринга. Сегодня важнейшими проблемами исследуемых в теории рекурсии есть классы сложности - в любом случае проблема имеет эффективное решение - и классификация степеней неразрешимости.
