Итеративный цикл в Derive

Итеративный, рекуррентный (или повторный) процесс заключается в подстановке значения функции вместо значения своего аргумента. Встроенными являются два оператора, отличающиеся присутствием или отсутствием одной буквы S  в конце имени оператора, это

ITERATES(f(x), x, x0, n);

ITERATE(f(x), x, x0, n).

При наличии в конце имени буквы S результат формируется в виде (n+1)-мерного вектора, содержащего все результаты промежуточных вычислений функции f(x). Первым элементом этого вектора служит начальное значение аргумента x0. При отсутствии S результатом выполнения оператора является значение функции после n-й подстановки. Схема алгоритма показана на рисунке справа.

Итерации применяются в методах численного решения уравнений. Наиболее популярен метод Ньютона для поиска корней алгебраического уравнения вида . Формула итерационного (последовательного) приближения к корню  от заданного приближенного значения  имеет следующий вид:

    или    .

Для примера с помощью итерационного метода Ньютона найдем корень следующего уравнения:

.

В соответствии с формулой Ньютона составим функцию для итерационного приближения:

F(x):=.

После исполнения этого выражения функция получит упрощенное значение:

F(x):=.

Области расположения нужных нулей функции F(x) можно получить, построив средствами пакета ее график (см. ниже). В надежде найти максимальный по величине корень, установим начальное значение равным 16, а количество подстановок - 8. Для получения корня с заданной точностью, то есть выводить числа с заданным количеством десятичных разрядов, необходимо заранее в соответствующих опциях сделать нужные установки. В рассматриваемом случае точность определена четырьмя десятичными разрядами:

ITERATES(F(x), x, 16, 8)

[16, 11.95, 9.418, 7.944, 7.232, 7.020, 7.000, 7.000, 7].

Функция f(x) и ее аргумент x могут быть и векторами. Например, для получения ряда Фибоначчи, который определяется рекуррентной формулой

,   для      и   ,

в командной строке необходимо записать следующее выражение:

fib(i) := ITERATES([v2, v1 + v2], v, [0, 1], i).

Здесь вектор fib(i):=v представлен двумерными отрезками ряда (), начальное значение которого принято равным  () = (0, 1). Векторная функция v перемещает свой второй элемент на место первого элемента, а второй элемент заменяет суммой первого и второго. Вызвав этот оператор по имени fib(5), получим вектор с шестью векторными компонентами, который показан справа.

Первый столбец такой таблицы можно элемент за элементом выбрать с помощью оператора VECTOR(*) и представить в виде вектора. Для этого через командную строку необходимо ввести следующие две строчки. Вторая строчка является вызовом функции по имени с конкретным значением параметра:

Sfib(n) := VECTOR((fib(n))k1, k, 1, n + 1)

Sfib(10)

[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55].