Основные функции АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ И ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ИХ РЕАЛИЗАЦИИ. Законы алгебры логики.

Алгебра логики (АЛ) является основным инструментом синтеза и анализа дискретных автоматов всех уровней. Алгебра логики называют также Булевой алгеброй. АЛ базируется на трёх функциях, определяющих три основные логические операции.

1. Функция отрицания (НЕ). f1 =`X читается, как f1 есть (эквивалентна) НЕ Х. Элемент, реализующий функцию НЕ, называется элементом НЕ (инвертором).
 
Элемент НЕ имеет два состояния.

  2. Функция логического умножения (конъюнкции). Функция логического умножения записывается в виде f2=X1·X2. Символы логического умножения &, L, <?>, ?. Функция конъюнкции читается так: f2 есть (эквивалентна) Х1 и Х2, поскольку функция истинна тогда, когда истинны 1-й и 2-й аргументы (переменные). Конъюнкцию называют функцией И, элемент, реализующий эту функцию, элементом И.  

В общем случае функцию логического умножения от n переменных записывают так:
 

Количество переменных (аргументов), участвующих в одной конъюнкции, соответствует количеству входов элемента И.

  3. Логическое сложение (дизъюнкция). Функция логического сложения записывается в виде f3=X1 + X2, и читается так: f3 есть Х1 или Х2, поскольку функция истинна, когда истинна одна или другая переменная (хотя бы одна). Поэтому функцию дизъюнкции часто называют функцией ИЛИ. Символы логического сложения +,V.

В общем случае функция ИЛИ записывается:  

Используя операции (функции) И, ИЛИ, НЕ можно описать поведение любого комбинационного устройства, задав сколь угодно сложное булево выражение. Любое булево выражение состоит из булевых констант и переменных, связанных операциями И, ИЛИ, НЕ.
Пример булева выражения:    
.    
Основные законы алгебры логики. Основные законы Алгебра логики позволяют проводить эквивалентные преобразования функций, записанных с помощью операций И, ИЛИ, НЕ, приводить их к удобному для дальнейшего использования виду и упрощать запись.
 
ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ              Таблица 1.1

 
Булевой алгебре свойственен принцип двойственности, что наглядно иллюстрирован в табл. 1.1. Как следует из табл. 1.1, только закон двойного отрицания не подчиняется этому принципу.

Используя законы алгебры логики, можно упростить булевы выражения, в частности, правило склеивания позволяет упростить выражение типа
.
Действительно, используя законы 2, 5 и 11 можно записать исходное выражение в виде Х2(Х1 +`Х1 ) =Х2. Так как логическая операция Х1 +`Х1 = 1 (см. з-н 5), а Х2?1 = Х2  (см. з-н 2б), полученное выражение истинно.
         Элементарные функции алгебры-логики. Среди всех функций алгебры логики особое место занимают функции одной и двух переменных, называемые элементарными. В качестве логических операций над переменными, эти функции позволяют реализовать различные функции от любого числа переменных.
Общее количество функций АЛ от m переменных R=2k, где k=2m. Рассмотрим элементарные функции от двух переменных