Многозначная логика - тип формальной логики, характерный наличием более чем двух возможных истинных значений ( истинности и ложности ). Первую систему многозначной логики предложил польский математик Ян Лукасевич в 1920 году. В настоящее время существует очень много других систем многозначной логики, которые в свою очередь могут быть сгруппированы по классам. Важнейшими из таких классов является частичные логики и нечеткие логики.
Трехзначные логики
трехзначная логика была исторически первой многозначной логике, и является самым простым расширением двузначной логики. Перечень истинностных значений трехзначной логики помимо «истинно» и «ложно» включает также третье значение, которое обычно трактуется как «неопределенное», «неизвестно» или «ложно». В последнем случае логику обычно называют частичной.
В трехзначной логике естественно не соблюдается закон исключенного третьего. Вместе с тем, важным свойством трехзначных логик, отражающим их адекватность, является то, что все они представляют собой расширение классической двузначной логики. То есть, за предположение, что символы интерпретируются, не принимает третий истинностного значения, семантика формул в трехзначной логике такая же, как и в двусмысленной.
Конечнозначные логики
Конечнозначные логики (другое название - 'k'-значные) является обобщением двузначной логики в том, что функция в ней может принимать не два значения (0 и 1), а значения от 0 до k-1. Существенным отличием 'k'-значной логики от двузначной является тот факт, что на данный момент не существует полного описания замкнутых классов при k> 2. В двузначной логике напротив существует полное описание системы замкнутых классов, предложенный Эмилем Постом в 1940 году.
Существуют следующие перепозначення для функций конъюнкции и дизъюнкции :
- A ? B = min (A, B)
- A ? B = max (A, B)
Неконечнозначные логики
Неконечнозначную логику можно ввести следующим образом:
- Истинное значение находится на отрезке действительных чисел от 0 до 1;
- Отрицание определяется как: ¬ A = 1-A;
- Конъюнкция определяется как: A ? B = min (A, B);
- Дизъюнкция определяется как: A ? B = max (A, B).
К формальным системам неконечнозначной логики могут быть отнесены системы R-функций В. Л. Рвачева.
Теория вероятностей и многозначные логики
Может показаться, что теория вероятностей очень похожа на нескинченнозначну логику: вероятности соответствует истинное значение (1 = истина, 0 = ложь), вероятность наступления какого-либо события соответствует отрицанию, вероятность одновременного наступления двух событий соответствует конъюнкции, а вероятность наступления хотя бы одной из двух событий соответствует дизъюнкции.
Однако между многозначными логиками и теорией вероятностей есть принципиальное отличие: в логиках истинное значение любой функции целиком определяется истинными значениям ее аргументов, тогда как в теории вероятностей, вероятность составленной события зависит не только от вероятностей событий-компонентов, но и от их зависимости друг от друга (что выражается через их условные вероятности ).
Это проявляется, в частности, в том, что в теории вероятностей выполняется эквивалент «закона исключенного третьего»: вероятность того, что некоторое событие {состоится или не состоится}, всегда равна единице, а во многозначных логиках закон исключенного третьего не выполняется.
В теории вероятностей выполняется также эквивалент «закону противоречия» : вероятность того, что {некоторое событие одновременно наступит и не наступит}, всегда равен 0, тогда как в многозначных логиках закон противоречия не выполняется.
Также существует определенная связь между истинными значениями бесконечномерных логики и вероятностями теории вероятностей, а именно:
- Если a - вероятность некоторого события, то вероятность наступления этого события составляет 1 - a ;
- Если a и b - вероятности некоторых двух событий, то вероятность совместного наступления двух событий не превышает min ( a, b );
- Если a и b - вероятности некоторых двух событий, то вероятность наступления хотя бы одного из двух событий больше, или равно max ( a, b ).
