Распознавание изображений по углу между векторами, скалярному произведению и по принадлежности к заданной области пространства

Существует большое число различных форм представления изображений в распознающих устройствах или программах. Одной из наиболее простых и понятных является форма, использующая представление изображений в виде точек или векторов в некотором n-мерном пространстве. Каждая ось такого пространства естественным образом соотносится с одним из n входов или с одним из n рецепторов распознающей системы. Каждый из рецепторов может находиться в одном из m состояний, если они дискретны, или иметь бесконечно большое число состояний, если рецепторы непрерывны. В зависимости от вида используемых рецепторов может порождаться непрерывное, дискретное или непрерывно-дискретное n-мерноепространство. В данной лабораторной работе рассматривается непрерывное  n-мерноевекторное пространство.

Мера сходства изображений в n-мерном векторном пространстве вводится как функцию двух переменных L(Sk, Si), где  Sk, Si є S;  S = {S1, S2, …, Sn}  - конечное множество изображений в рассматриваемом пространстве. При этом функция L(Sk, Si) обладает следующими свойствами:
- свойством симметрии, т.е. L(Sk, Si) = L(Si, Sk);
- областью значений функции является множество неотрицательных чисел, т.е. L(Sk, Si) > или = 0,  k, i = 1, 2, …, n;
- мера сходства изображения с самим собой принимает экстремальное значение по сравнению с любым другим изображением, т.е. в зависимости от способа введения меры сходства выполняется одно из двух соотношений:

- в случае компактных образов функция L(Sk, Si) является монотонной функцией удаления точек Sk и Si друг от друга в n-мерном пространстве.
В n-мерном пространстве мера сходства изображений может быть введена многими способами. Рассмотрим несколько из них. При этом во всех случаях будем полагать, что эталонные изображения  X1, X2, …, Xm  m различных классов изображений или образов в n-мерном пространстве задаются в виде векторов с проекциями на оси координат: X1 = (x11, x12, …, x1n),  X2 = (x21, x22, …, x2n), …, Xm = (xm1, xm2, …, xmn). Любое входное изображение  Si є S  также представляется в виде вектора  Si = (si1, si2, …, sin)  в этом пространстве.

1. Распознавание по углу между векторами

Мера близости между двумя векторами в n-мерном векторном пространстве может быть задана в виде угла. Если задано входное изображение Si = (si1, si2, …, sin)  и векторы эталонных изображений  X1 = (x11, x12, …, x1n),  X2 = (x21, x22, …, x2n), …, Xm = (xm1, xm2, …, xmn), то мера сходства между входным и эталонными изображениями определяется выражением

     (1)
где  - соответственно длины векторов
Принадлежность входного изображения Si к одному из m образов определяется с помощью решающего правила

                                (2)

При этом в решающем правиле и далее по тексту для обозначения j-го образа и эталонного изображения j-го образа применяется одно и тоже обозначение .

2. Распознавание изображений по скалярному произведению

Мера близости изображений по углу между векторами (1) основана на скалярном произведении векторов:

                                     (3)

Некоторые системы распознавания используют непосредственно скалярное произведение в качестве меры сходства изображений в n-мерном векторном пространстве:
                                                 (4)

В этом случае принадлежность входного изображения Si к какому-либо образу определяется с помощью решающего правила

                               (5)

3. Распознавание изображений по принадлежности к заданной области пространства

При этом способе распознавания все пространство изображений V  разбивается на непересекающиеся области V1, V2, …, Vm, Vm+1, где V1, V2, …, Vm - области, содержащие изображения только одного соответствующего образа X1, X2, …, Xm; Vm+1 - область, не содержащая изображений, относящихся к указанным образам. В этом случае принадлежность входного изображения Si = (si1, si2, …, sin) к  некоторому  j-му образу  определяется решающим правилом

                                       (6)

Если области   заданы в евклидовом пространстве в виде шаров с центрами в точках   и радиусами  Rj, то решающее правило (6) принимает вид

                           (7)

Для конструирования областей в пространстве изображений могут использоваться любые меры сходства, например, расстояния с весовыми коэффициентами (8) - (10), расстояние по Камберра (11) и т.д.

                                          (8)

                                            (9)

                                             (10)

                                              (11)

 - весовые коэффициенты; l - целое положительное число, большее двух.
Решающее правило (6) для расстояний (8) - (10) принимает вид

где Rij - расстояние, заданное одним из выражений (8) - (11), между предъявленным изображением Si  и центром шара, содержащего изображения  j-го образа; Rj - радиус шара, содержащего изображения j-го образа.
При использовании для распознавания угла между векторами непересекающиеся области  задаются в виде конусов, а решающее правило имеет вид

где - угол между предъявленным изображением Si и эталонным изображением Xj; - предельно допустимый угол для j-го образа между эталонным и распознаваемым изображениями.