Метод неопределенных множителей

Метод неопределенных множителей или метод неопределенных множителей Лагранжа - метод нахождения условного оптимума, предложенный итальянским математиком Жозефом-Луи Лагранжем. Метод позволяет свести задачу на отыскание условного оптимума в задаче на нахождение безусловного оптимума.

Задача

Пусть нужно найти оптимум функции n переменных $F (x_1, x_2, \ ldots, x_n)$ при s условиях

$g_i (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0$ , Где.

Описание метода

Вводя s неопределенных множителей Лагранжа ? и, построим функцию Лагранжа

$\ Phi (x_1, x_2, \ ldots, x_n, \ lambda_1, \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_s) = F (x_1, x_2, \ ldots, x_n) - \ sum_ {i = 1} ^ s \ lambda_i g_i ( x_1, x_2, \ ldots, x_n)$ .

Задача нахождения условного оптимума сводится к решению системы n + s уравнений с n + s переменными:

$\ Frac {\ partial \ Phi (x_1, x_2, \ ldots, x_n, \ lambda_1, \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_s)} {\ partial x_i} = 0, \ qquad i = 1,2, \ ldots, n$ ,

$\ Frac {\ partial \ Phi (x_1, x_2, \ ldots, x_n, \ lambda_1, \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_s)} {\ partial \ lambda_j} = g_j (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0 , \ qquad j = 1,2, \ ldots, s$ .

Использование

Метод неопределенных множителей Лагранжа широко используется в математической и теоретической физике. С помощью этого метода получены уравнения Лагранжа первого рода, которые позволяют формально ввести силы реакции в физические задачи с связями. Неопределенные множители Лагранжа использует также вариационный метод в квантовой механике.