Задачи линейного программирования

Задача линейного программирования - задача оптимизации с линейной целевой функцией и допустимой множеством ограниченной линейными равенства или неравенства.

То есть, необходимо минимизировать:

$\ Sum_ {j = 1} ^ n c_j x_j \ to \ min$ (1)

при ограничениях:

$\ Sum_ {j = 1} ^ n a_ {ij} x_j \ leq b_i, \; i = 1, \ dots, m_1$ , (2)

$\ Sum_ {j = 1} ^ n a_ {ij} x_j = b_i, \; i = m_1 +1, \ dots, m$ , (3)

$x_j \ geq 0, \; j = 1, \ dots, n_1$ , (4)

где C J ( j = 1,..., n ), A IJ ( i = 1,..., m ) - заданные числа.

Задача максимизации функции (1) сводится к задаче минимизации путем замены знаков всех коэффициентов C J на противоположные.

Обзор

Линейное программирование (и исследование задачи линейного программирования) является одной из самых развитых отраслей математического программирования и теории оптимизации. Общая постановка задачи линейного программирования, и один из подходов к ее решению (идея розришаючих множителей или двойственных оценок) впервые приведен в работе советского ученого Канторовича Л. В. в 1939. В этой же работе намечено один из методов решения задачи - метод последовательного уменьшения невязок.

Методы решения задач линейного программирования

Метод потенциалов - разработан в 1940 советскими учеными Канторовичем и Гавуриним Л. В. в применении к транспортной задачи;
Симплекс-метод - это метод является обобщением метода потенциалов для случая общей задачи линейного программирования. Разработан американским ученым Данцигом Дж.-Б. в 1949 году.
Двойственный симплекс-метод разработан впоследствии после прямого симплекс-метода, и который является, по сути, симплекс-методом решения двойственной задачи линейного программирования, но сформулированной в терминах исходной задачи.

Все эти методы конечные. Кроме того, существуют, также, итеративные методы решения, позволяющие вычислять решения задачи с заранее заданной точностью.

Близкую связь между линейным программированием и теорией игр позволяет использовать для решения задач линейного программирования численные методы теории игр.

Другая группа итеративных методов характеризуется заменой исходной задачи на эквивалентную ей задачу выпуклой оптимизации без ограничений, для решения которой используются различные градиентные методы.

Для решения задач линейного программирования с большим числом переменных и ограничений используют методы декомпозиции, позволяющие вместо исходной задачи решать последовательность задач меньшего объема.

Методов линейного программирования недостаточно при наложении дополнительных ограничений на целочисленность значений переменных. Изучением таких задач занимается целочисленное программирование.

Наряду с основной задачей линейного программирования, рассматривают различные отдельные задачи линейного программирования, такие как транспортные, задачи распределения, задачи теории расписаний, выбора и т.д..