Методы линейной алгебры для решения уравнений смены состояний сети

Методы позволяют на основе математического исследования структуры биграфа сети и начального маркирования M0 оценить такие качественные характеристики сети как ограниченность, живость и др.

Целочисленный вектор X = {Xi}, i=1,2,…n, являющийся решением линейной системы

AX = 0                                                                                        (8)

называется Р-инвариантом или Р-циклом.
Рассмотрим уравнение (6), обе части которого умножим на X*:

X*M = X*M0+ X*A*S                                                                 (9)

Известно, что AX = X*A*, поэтому из выражения (9) с учётом (8) получим:

                                                                       (10)

из которого следует, что любой Р-инвариант характеризует все достижимые маркирования сети с позиции сохранения некоторых свойств процессов.

Если обозначить X*M0 = K0, где K0 - постоянная величина, то свойство инвариантности сети представимо в виде отношения-равенства:

                                                                          (11)

Вектор Х называют Р-инвариантом, поскольку он определяет некоторое из свойств распределения меток по позициям Pi.
Фундаментальной системой решений системы линейных однородных уравнений (8) называют такую их совокупность, через которую линейно выражаются все остальные решения. Если ранг матрицы А равен числу неизвестных (r = n), то система (8) имеет только нулевое решение.

Если r < n, то система (8) помимо нулевого имеет бесконечное множество других решений, причём фундаментальная система состоит из (n - r) векторов Х. Ранг n*m - матрицы  равен наивысшему порядку отличного от нуля определителя, полученного вычёркиванием n - r столбцов и m - r строк из матрицы А.

Таким образом, все инварианты Х для маркирований сети можно получить из n - r базисных решений. Объединив записанные в виде векторов-строк решения фундаментальной системы, получим матрицу инвариантов или базисных решений В. Тогда для любого достижимого маркирования аналогично равенству (11).

                          (12)

Если все компоненты Р-цикла неотрицательны, его называют Р-цепью. полная Р-цепь – это Р-цепь, все компоненты которой положительны. Сеть Петри инвариантна, если для неё существует полная Р-цепь. Полная Р-цепь включает в себя все позиции сети.

Инвариантная сеть Петри является ограниченной. Докажем это. Пусть Х – полная Р-цепь. Тогда X*M=K0, т. е. взвешенная сумма меток по всем позициям  - ограниченная. А поскольку xj положительные и вся сумма ограничена, то и маркирования всех позиций сети ограниченны.