Системы счисления

Рассмотрим такую странную автобиографию: «Я окончил университет 44 лет отроду, спустя год 100-летним молодым человеком я познакомился с 34-летней девушкой. Незначительная разница в возрасте – всего 11 лет – способствовала тому, что мы жили душа в душу…»

Странность чисел в этой биографии из-за того, что все они указаны не в десятичной, как привычно, а в пятеричной системе счисления. Разгадка во фразе «спустя год». После 44 идет 100, т.е. 4 – это максимальная цифра и требует обнуления младших разрядов и появления 1 в новом разряде, аналогично тому, как в десятичной 9+1 – вызывает появление 1 в новом разряде, т.е. получается 10.

Система счисления – это совокупность приемов и правил для записи чисел знаками. Наиболее известна десятичная система, где используют цифры от 0 до 9. Способов записи чисел бесконечно. Но любая система должна

1) представлять любое число;

2) при этом единственным образом;

3) обеспечить простоту оперирования числами.

Системы делят на позиционные и непозиционные. Способ записи можно представить как

, (1)

где А – число; D_i – символ системы.

Такая запись отражает число в непозиционной системе.

Непозиционная система – это система, для которой значение символа не зависит от его положения в числе и принцип образования числа через операции сложения или вычитания. Примером такой системы может служить римская система (I, V, X, L, C, D, M и т.д.).

Если формулу записать как

, (2)

где в_i=qⁱ, то В_i=qВ_i-1, q – называют основанием системы счисления.

Позиционные системы – это системы, удовлетворяющие равенству (2). В таких системах значение цифры определяется местом в числе.

Например, в десятичной системе число 222:

2 на первом месте – это сотни;

2 на втором месте – это десятки;

2 на третьем месте – это единицы.

Длина числа или длина разрядной сетки – это количество позиций в записи числа (3).

Для различных систем счисления характерна разная длина.

Например, 96₍₁₀₎ – это 140₍₈₎, или 10120₍₃₎, или 1100000₍₂₎. (Цифра в скобках обозначает основание системы счисления.)

Для длины N можно задать диапазон представления (ДП) чисел в заданной системе счисления как

. \ (3)

В ЭВМ используется двоичная система счисления, правила которой просты, но требуют перевода результата в приемлемый вид (десятичный).

Для систем счисления с основанием больше 10 для обозначения разрядов вводят буквы. Например, 16-ричная система имеет в своем составе следующие разряды: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А В С D E F.

Принято обозначать числа из 16-ричной системы, добавляя букву Н, двоичные – В. Например, 10С0Н, 00011В.