Погрешности вычисления значений функций

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции , вызываемая достаточно малой погрешностью аргумента , оценивается величиной

.

Относительная погрешность оценивается величиной

.

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции , вызываемая достаточно малыми погрешностями аргументов , оценивается величиной

.

Относительную погрешность можно оценить по формуле:

.

Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых:

если , то .

При большом количестве слагаемых оценка абсолютной погрешности по этой формуле оказывается сильно завышенной, так как обычно происходит частичная компенсация погрешностей разных знаков. Если все слагаемые округлены до m-го десятичного разряда, то их погрешности оцениваются величиной . Статистическая оценка абсолютной погрешности суммы определяется по формуле:

.

Если среди слагаемых имеется одно число, абсолютная погрешность которого значительно превосходит абсолютные погрешности остальных слагаемых, то абсолютная погрешность суммы считается равной этой наибольшей погрешности.

Относительная погрешность разности двух положительных чисел больше относительной погрешности этих чисел, особенно если эти числа близки друг к другу, то есть если их разность мала по сравнению с этими числами. Это приводит к потере точности при вычитании близких чисел.

Пример 1.3. Даны два числа и с абсолютными погрешностями . Требуется оценить погрешность их разности .

Находим: , . Относительная погрешность равна . Получаем, что разность не содержит ни одного верного знака, хотя сами числа имеют малые относительные погрешности: .