Представление чисел в системах с плавающей запятой

Представление чисел в системах с плавающей запятой характеризуется четырьмя параметрами:

• основанием ,
• длиной мантиссы (точностью) ,
• пределами изменения показателей .

Произвольное число в системе с плавающей запятой можно представить в виде:

,

где число в круглых скобках – дробная часть – мантисса, p – порядок числа .

Система с плавающей запятой называется нормализованной, если для каждого ненулевого числа .

Действительные компьютерные реализации могут в деталях отличаться, но эти различия несущественны при обсуждении ошибок округления. Множество чисел в системе с плавающей запятой является конечным. Множество положительных и отрицательных чисел с учетом числа ноль в нормализованной системе равно

.

Числа расположены неравномерно на оси чисел. Рассмотрим пример нормализованной системы:

.

Все возможные дробные части системы – числа, имеющие порядок :

.

Чтобы получить остальные числа системы, нужно умножить эти дроби на . Получим числа от до 3.5. Все положительные числа системы показаны на рис. 1.1.

Не любое действительное число может быть представлено в такой системе. Сумма чисел, входящих в систему, может не принадлежать системе, даже если эта сумма меньше максимального числа 3.5. В подобной системе не выполняются законы ассоциативности и дистрибутивности.

Рассмотрим пример. Сложим три числа: . Рассмотрим два варианта объединения слагаемых: и .

1) ; прибавив к этому , получим точный ответ: .

2) . Такого числа нет в системе – требуется округление. Возможны два

варианта: округление до большего и округление до меньшего

а) Округляем до большего: . Прибавив , вновь получаем число, которого нет в системе: . Вновь округляя до большего, получаем неверный ответ: сумма равна 1.0.

б) При округлении до меньшего полагаем . Прибавив , опять получим число, которого нет в системе: . В соответствии с выбранным правилом округления до меньшего отбрасываем последний разряд и вновь получаем неверный результат: .

Получили, что в нашей системе от перемены мест слагаемых сумма меняется!