Декартово произведение множеств

В математике достаточно часто приходится иметь дело не только с отдельными элементами какого-либо множества, но и с упорядоченными парами его элементов. Примерами упорядоченных пар могут служить (a,b), (1,1). В упорядоченных парах числа могут совпадать, а могут и не совпадать. Аналогично сказанному, можно ввести в рассмотрение упорядоченные тройки, упорядоченные четверки, а в общем случае и упорядоченные наборы длины n элементов данного множества.

Набор, составленный из элементов a1, a2, ... an n = 2,3,... взятых именно в этом порядке будем обозначать (a1,...,an) и говорить, что i-я компонента этого набора есть ai. Длиной набора (a1,...,an) будем называть число n его компонент.

Определение. Мы будем говорить, что два набора равны между собой, т.е. (a1,...,an) = (b1,...,bn) тогда и только тогда, когда для любого i выполнено равенство ai = bi.

Примеры. .

Условимся называть элемент a некоторого множества A набором длины один, тогда можно ввести пустой набор - набор длины нуль, который мы будем обозначать L.

Определение. Декартовым (прямым) произведением множеств A1,..., An  () мы будем называть множество, состоящее из всех тех и только тех наборов длины n, i-я компонента которых принадлежит множеству Ai:

Через  мы будем обозначать декартово произведение n-штук множеств M, его элементами являются упорядоченные наборы из n элементов, каждый из которых принадлежит множеству M. Множество   еще называют n-й декартовой степенью множества M. По аналогии с числами обычно полагают   = M,       = A.
Пример. Рассмотрим два множества A1 = [0,1], A2 = [2,3]. Если на плоскости выбрать некоторую декартову систему координат, то прямое произведение  можно представить как квадрат со стороной длины 1.