Подмножество. Отношение включения

Введем еще одно важное отношение между множествами - отношение включения.

Определение. Пусть A и B - какие-то два множества. Если любой элемент x множества A является элементом множества B, то говорят, что множество A является подмножеством множества B и обозначают этот факт следующим образом  или .
Это же определение можно переписать на языке кванторов

"если элемент x принадлежит множеству A, то x принадлежит множеству B". Из введенного определения очевидно следует утверждение, если  и , то A = B, т.е. множества A и B состоят из одних и тех же элементов.
Пустое множество  по определению считается подмножеством любого множества  множества A имеем, что .
Определение. Подмножество A множества B, отличное от самого множества B и называется собственным подмножеством.
На языке кванторов это записывается следующим образом: .
Это, так называемое, "строгое" включение множества A в множество B.

Примеры.  однако интервалы [1,2] и (1,3] не удовлетворяют никаким условиям включения - в каждом из этих множеств есть элементы не принадлежащие другому множеству.
Очевидны следующие свойства включений:
1)
2)
3) .
Определение.  Подмножества B и множества B называются его несобственными подмножествами.

Пустое и одноэлементное множества обладают только несобственными подмножествами. Однако, если множество содержит, по крайней мере, два элемента, то оно имеет и собственные подмножества.
Пример. Всевозможные подмножества множества A = {a,b} суть  { a}, { b}, { a, b}, из которых { a}, {b} - собственные подмножества множества A.