Разделенные разности

Часто экспериментальные данные функциональной зависимости представляются таблицей, в которой шаг по независимой переменной не постоянен. Для работы с таким представлением функции конечные разности и конечно-разностные операторы не пригодны. В этом случае первостепенную роль играют разделенные разности.

Разделенную разность функции  f(x)  для некоторых двух точек  и  определяют следующей дробью:

Для  построения  степенного  многочлена,  проходящего  через заданные точки, необходимо иметь число точек на единицу больше, чем степень многочлена. Согласно определению разделенной разности число их для  n точек равно числу сочетаний из n по 2. Это во много раз больше,  чем необходимо для построения кривых, проходящих через n точек. Из опыта работы с конечными разностями видно, что разделенных разностей из всего множества  достаточно выбрать всего n, но выбрать так, чтобы в их образование входили все (n+1) точек таблицы.

Вполне разумно вычислять разделенные разности только для соседних значений функции в таблице. В этом случае говорят об упорядоченных разделенных разностях. Аргументу табличной функции присваиваются индексы из чисел натурального ряда, начиная с нуля, в результате чего обозначения разделенных разностей для i-той строки таблицы будут .

Повторная разность от разделенной разности  есть разделенная разность второго порядка:

В общем случае разделенная разность n-го порядка имеет вид: