Исчисление конечных разностей

Разложение функций в ряд по факториальным многочленам (интерполяционным многочленам Ньютона в частности) дает возможность получать формулы суммирования функциональных  рядов в виде аналитических выражений, зависящих от пределов.  Эта возможность открывается в связи с тем, что суммировать конечные разности не представляет большой сложности, а выразить конечную разность от факториального многочлена через факториальный же многочлен можно, воспользовавшись соотношением:

Факториальные многочлены по отношению к исчислению разностей ведут себя так же, как степенные функции в исчислении производных:  дифференцирование тоже понижает степень многочлена на единицу.  Это  свойство  позволяет  в факториальном  разложении заменить  факториальные многочлены  своими конечными разностями следующего вида:

Замена хороша тем, что суммирование конечных разностей в заданных  пределах мнемонически весьма напоминает вычисление определенного интеграла от функции по ее первообразной:

Если  ,  то

.

Процедуру суммирования функционального ряда продемонстрируем на примере получения суммы квадратов натурального ряда чисел в пределах от a=1 до b=5  (Для проверки: ):

Вторая сумма по переменной n представляет разложение  по факториальным многочленам, в которое входят значения конечных разностей  0, 1 и 2-го порядков, вычисленные в начале координат целочисленной переменной, т.е. при  x=0.  Они соответственно равны:

,

,

.

После подстановки значений разностей во второй сумме останутся два факториальных полинома:  первой и второй степеней:

Если распределить вычисление сумм по слагаемым,  то мы перейдем  к суммированию конечных разностей от факториальных многочленов: