Решение неоднородных дифференциальных уравнений

Познакомившись с общим подходом к построению решений линейных векторных дифференциальных уравнений, покажем теперь, как получаются решения неоднородных уравнений.

Представим исходное уравнение с неоднородностью, локализованной  в правой части уравнения, и умножим обе части уравнения на матричную экспоненту :

 .

Обращаясь к правилам дифференцирования векторно-матричных выражений, приведенных выше, несложно заметить, что слева от знака равенства находится производная от произведения матричной экспоненты  на  вектор y: 

 .

Сделаем соответствующую замену и проинтегрируем левую и правую части по независимой переменной  t:

 .

Умножая слева обе части равенства на матрицу , получим общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

 .

Формула общего решения в своей нотации точно соответствует случаю скалярного уравнения. При невозможности аналитического решения переходный процесс можно вычислить по точкам, заменив непрерывное время дискретным    с шагом  , где R - радиус сходимости  степенного матричного ряда с матрицей  :

 .

В интеграле можно заменить независимую переменную на дискретную с тем же шагом, что и при разложении экспоненты: , тогда, применяя метод интегрирования по правилу прямоугольников и обозначая матричную экспоненту на  k-том  шаге через , получим

 .

Удобно из формулы вычисления дискретных значений векторного переходного процесса получить рекуррентную формулу. Этого можно  добиться, если найти в выражении для  часть, которую можно заменить значением :

Повышения точности вычисления переходного процесса достигают за счет замены интеграла квадратурами более высокого порядка, например, первого – формула трапеций, или второго – формула парабол (Симпсона).

Использование формулы трапеций приводит после соответствующих преобразований к следующей рекуррентной формуле:

Если использовать формулу Симпсона, то рекуррентная формула для расчета переходного процесса от точки к точке будет такой:

В приведенных рекуррентных формулах матричные экспоненты имеют следующий вид:

.