Следующий важный подход к решению алгебраических систем уравнений базируется на применении эквивалентных преобразований с помощью унитарных матриц, сводящем исходную матрицу к эквивалентной ей диагональной.
Смысл этого подхода состоит в том, чтобы последовательно, умножением слева и/или справа на специальные унитарные матрицы, превратить некоторые компоненты исходной матрицы в нуль.
Матрица S называется унитарной, если ее произведение со своей комплексно сопряженной равно единичной матрице. Это означает, что комплексно сопряженная матрица равна обратной матрице:

Известной унитарной матрицей является матрица вращения,которая применяется для поворота на заданный угол вектора, принадлежащего некоторой плоскости, вокруг начала координат. В двумерном случае вектор
поворачивается на угол
путем умножения на матрицу

Чтобы сохранить эквивалентность результирующей матрицы при умножении ее на матрицу вращения, необходимо исходную матрицу умножать справа на
и слева на
. Умножение же матрицы вращения на вектор дает такой же по величине вектор, но повернутый на заданный угол.
Поворот вектора в многомерном пространстве на произвольный угол можно представить, как последовательность плоских вращений каждой проекции на некоторый угол. Если подобрать угол вращения так, чтобы в плоском повороте одну из проекций вектора совместить с координатной осью, то вторая проекция в этой плоскости становится равной нулю.
Частные повороты вектора в многомерном пространстве с помощью матрицы вращения можно выполнять, если ее расширить до матрицы размера
следующим образом:
.
Индексы i, j обозначают матрицу вращения, поворачивающую вектор в плоскости
на угол
.
Теперь частное эквивалентное преобразование матрицы A вращением на угол
записываются так:
.
Условие превращения в нуль ij-тых элементов симметричной матрицы A можно получить методом неопределенных коэффициентов на двумерной матрице:
.
.
Угол поворота, при котором
, находится из уравнения
.
Разделив на
и обозначив
,
, получим квадратное уравнение для тангенса требуемого угла поворота
.
Из двух решений для тангенса выбирается такое, чтобы
. В этом случае
. Подставив выражение для угла в соотношения для диагональных элементов, после тригонометрических преобразований получаются следующие формулы:

Для получения результирующей матрицы выполнять матричное умножение трех матриц совсем необязательно. Структура матриц вращения вызывает при умножениях изменение только тех элементов исходной матрицы, которые находятся на i-той и j-той строчках и на i-том и j-том столбцах. Изменения представляются суммами элементов, стоящих в строчках и столбцах, умноженных на синус или косинус угла
в соответствии с формулами, где j>i:
преобразования строк –
;
преобразование столбцов –
.
На пересечениях i-й строки и i-того столбца и j-й строки и j-того столбца располагаются соответственно вычисленные выше
и
, а на местах ij-того и ji-того элементов вставляются нули.
Для приведения к диагональной матрице необходимо выполнить
таких элементарных преобразований.