Преобразование вращения

Следующий важный подход к решению алгебраических систем уравнений базируется на применении эквивалентных преобразований с помощью унитарных матриц, сводящем исходную матрицу к эквивалентной ей диагональной.

Смысл этого подхода состоит в том, чтобы последовательно, умножением слева и/или справа на специальные унитарные матрицы, превратить некоторые компоненты исходной матрицы в нуль.

Матрица  S  называется унитарной, если  ее произведение со своей комплексно сопряженной равно единичной матрице. Это означает, что комплексно сопряженная матрица  равна обратной матрице:

Известной унитарной матрицей является матрица вращения,которая применяется для поворота на заданный угол вектора, принадлежащего некоторой плоскости, вокруг начала координат. В двумерном случае вектор  поворачивается на угол  путем умножения на матрицу

Чтобы сохранить эквивалентность результирующей матрицы при умножении ее на матрицу вращения, необходимо исходную матрицу умножать справа на  и слева на . Умножение же матрицы вращения на вектор дает такой же по величине вектор, но повернутый на заданный угол.

Поворот вектора в многомерном пространстве  на произвольный угол можно представить, как последовательность плоских вращений каждой проекции на некоторый угол.  Если подобрать угол вращения так, чтобы в плоском повороте одну из проекций вектора совместить с координатной осью, то вторая проекция в этой плоскости становится равной нулю.

Частные повороты вектора в многомерном пространстве с помощью матрицы вращения можно выполнять, если ее расширить до матрицы размера  следующим образом:

  .

Индексы i, j обозначают матрицу вращения, поворачивающую вектор в плоскости   на угол .

Теперь частное эквивалентное преобразование матрицы A вращением на угол  записываются так:

 .

Условие превращения в нуль ij-тых элементов симметричной матрицы A можно получить методом неопределенных коэффициентов на двумерной матрице:

.

.

Угол поворота, при котором  , находится из уравнения 

 .

Разделив на    и  обозначив   , , получим квадратное уравнение  для тангенса  требуемого угла поворота

 .

Из двух решений  для тангенса выбирается такое, чтобы  . В этом случае . Подставив выражение для угла в соотношения для диагональных элементов, после тригонометрических преобразований  получаются следующие формулы:

Для получения результирующей матрицы выполнять матричное умножение трех матриц совсем необязательно. Структура матриц вращения вызывает при умножениях изменение только тех элементов исходной матрицы, которые находятся на i-той и j-той строчках  и на i-том и j-том столбцах. Изменения представляются суммами элементов, стоящих в строчках и столбцах, умноженных на синус или косинус угла  в соответствии с формулами, где j>i:

преобразования строк   –   ;

преобразование столбцов –.

На пересечениях i-й  строки  и  i-того столбца  и  j-й  строки  и  j-того столбца располагаются соответственно вычисленные выше  и ,  а на местах ij-того  и  ji-того элементов вставляются нули.

Для приведения к диагональной матрице необходимо выполнить  таких элементарных преобразований.