Конечно-разностные операторы

Линейность конечно-разностного оператора  позволяет ввести конечно-разностный оператор сдвига  и многочлены от оператора  с целыми коэффициентами, такие, как , где  должно рассматриваться как оператор повторной разности  k-того  порядка.

Действие любого многочлена  на функцию g(i) определяется как

  .

Применение оператора сдвига к g(i) преобразует последнее в g(i+1):

g(i+1) = E g(i) = (1+) g(i)= g(i) + g(i).

Повторное применение оператора сдвига позволяет выразить (i+n)-е  значение  ординаты функции g через конечные разности различных порядков:

где           – число сочетаний из n элементов по k;

 – многочлен степени k от целой переменной  n  (), имеющий k  сомножителей. При k=n   .

В силу линейности оператора сдвига можно конечно-разностный оператор выразить, как , и определить повторные конечные разности через многочлены от операторов сдвига так .

Последнее позволяет формульно выражать n-ную повторную разность  через (n+1) ординату табличной функции, начиная с i-той строки:

Если в выражении для g(i+n) положить i=0  и вместо  подставить их факториальные представления, то после несложных преобразований получится  разложение функции целочисленного аргумента по многочленам , которые в литературе называют факториальными:

.

Можно поставить задачу разложения и функции действительной переменной f(x) по многочленам  относительно начала координат (аналогично ряду Маклорена), т.е. . Если  последовательно находить конечные разности от левой и правой частей, то, зная, что  и , после подстановки  x=0 будем получать выражения  для  коэффициентов  разложения  .  У многочленов k-той  степени,  , поэтому

.

Такое разложение табличной функции f(x) в литературе называют интерполяционным многочленом Ньютона для равных интервалов.