Краткое рассмотрение основных теоретических положений линейной алгебры позволяет сделать следующие выводы: для успешного решения систем линейных алгебраических уравнений и вычислений матричных функций необходимо уметь находить ее собственные значения и собственные векторы.
Для любой матрицы A с действительными компонентами и любого ненулевого вектора v существует отношение Рэлея, связывающее скалярное произведение векторов v и Av с минимальным и максимальным собственными значениями:
.
К высказанному необходимо сделать еще ряд замечаний, связанных со случаями, когда исходная матрица имеет кратные собственные значения или оказывается вырожденной.
Характеристическое уравнение матрицы A с кратным корнем
можно записать в виде
.
На основании этой записи можно составить минимальное характеристическое уравнение
, для которого матрица A также является корнем:
.
Особенности в части определения собственных значений и векторов обычно возникают в несимметричных матрицах (
). Некоторые из них никакими подобными преобразованиями не удается свести к диагональной. Например, не поддаются диагонализации матрицы n-го порядка, которые не имеют n линейно независимых собственных векторов. Однако любая матрица A размера
с помощью преобразования подобия может быть приведена к прямой сумме жордановых блоков или к канонической жордановой форме:
,
где A – произвольная матрица размера
;
– жорданов блок размера
;
V – некоторая невырожденная матрица размера
.
Характеристическое уравнение жорданова блока размера
независимо от количества единиц в верхней диагонали записывается в виде произведения
одинаковых сомножителей и, следовательно, имеет только
кратных корней:
.
Если выразить матрицу V в форме вектора с компонентами в виде векторов-столбцов
, то из равенства AV=VJ для каждого жорданового блока следует соотношение
.
Здесь
в зависимости от структуры верхней диагонали, в которой может быть либо ноль, либо единица. Если жордановы блоки имеют размер
, то мы имеем случай симметричной матрицы или матрицы с различными собственными значениями.
При поиске решений систем линейных уравнений с несимметричными матрицами, последние стремятся теми или иными приемами свести к выражению с симметричными матрицами.
Один из возможных подходов к решению несимметричных линейных систем состоит в замене исходной системы эквивалентной системой:
.
Недостаток этого подхода состоит в том, что мера обусловленности произведения матрицы A на свою транспонированную, оцениваемая отношением
, оказывается больше, чем у матрицы A.
Под мерой обусловленности понимают отношение наибольшего собственного значения матрицы к наименьшему. Это отношение влияет на скорость сходимости итерационных процедур при решении уравнений.
Итак, основными алгебраическими системами уравнений можно считать неоднородные системы уравнений с симметричными матрицами коэффициентов.