Оценка величины и нахождение собственных значений

Краткое рассмотрение основных теоретических положений линейной алгебры позволяет сделать следующие выводы: для успешного решения систем линейных алгебраических уравнений и вычислений матричных функций необходимо уметь находить ее собственные значения и собственные векторы.

Для любой матрицы  A с действительными компонентами и любого ненулевого вектора v  существует отношение Рэлея, связывающее скалярное произведение векторов   v   и  Av  с минимальным и максимальным собственными значениями:

  .

К высказанному необходимо сделать еще ряд замечаний, связанных со случаями, когда исходная матрица имеет кратные собственные значения или  оказывается вырожденной.

Характеристическое уравнение  матрицы A с кратным корнем  можно записать в виде

 .

На основании этой записи можно составить минимальное характеристическое уравнение      , для которого матрица A также является корнем:

  .

Особенности в части определения собственных значений и векторов обычно возникают в несимметричных матрицах (). Некоторые из них никакими подобными преобразованиями не удается свести к диагональной. Например, не поддаются диагонализации матрицы n-го порядка, которые не имеют n линейно независимых собственных векторов. Однако любая матрица A размера  с помощью преобразования подобия может быть приведена к прямой сумме  жордановых блоков  или к  канонической жордановой форме:

 ,

где          A – произвольная матрица размера  ;

 – жорданов блок размера ;

V  – некоторая невырожденная матрица размера   .

Характеристическое уравнение жорданова блока размера  независимо от количества единиц в верхней диагонали записывается в виде произведения   одинаковых сомножителей и, следовательно, имеет только  кратных корней:

 .

Если выразить матрицу V  в форме вектора с компонентами в виде векторов-столбцов  , то из равенства  AV=VJ  для каждого жорданового блока следует соотношение

 .

Здесь  в зависимости от структуры верхней диагонали, в которой может быть либо ноль, либо единица. Если жордановы блоки имеют размер , то мы имеем случай симметричной матрицы или матрицы с различными собственными значениями.

При поиске решений систем линейных уравнений с несимметричными матрицами, последние стремятся теми или иными приемами свести к выражению с симметричными матрицами.

Один из возможных подходов к решению несимметричных линейных систем состоит  в замене исходной системы эквивалентной системой:

.

Недостаток этого подхода состоит в том, что мера обусловленности произведения матрицы A на свою транспонированную, оцениваемая отношением  , оказывается больше, чем у матрицы  A.

Под мерой обусловленности понимают отношение наибольшего собственного значения матрицы к наименьшему. Это отношение влияет на скорость сходимости итерационных процедур при решении уравнений.

Итак, основными алгебраическими системами уравнений можно считать неоднородные системы уравнений с симметричными матрицами коэффициентов.