Собственные значения и собственные векторы

Рассмотрим  теоретические основы и методы, позволяющие выполнять эквивалентные матричные преобразования.

Найдем вектор, который под воздействием матрицы A изменяет только свою величину, но не направление. Для системы уравнений это означает, что вектор решения должен быть пропорционален с некоторым коэффициентом вектору правой части:

В результате несложных преобразований получены однородные векторно-матричные уравнения в столбцовой и в строчной формах  с некоторым числовым параметром  и неизвестным вектором-столбцом x и вектором-строкой , представляющих собственное состояние системы. Однородная система может иметь отличное от нуля решение  лишь в том случае, когда определитель ее равен нулю. Это следует из формул получения решения методом определителей (Крамера), в которых и определитель знаменателя, и определитель числителя оказываются равными нулю.

Полагая, что решение все же существует, т.е.  и , удовлетворить уравнению  можно только за счет приравнивания нулю определителя однородной системы:

Раскрыв определитель и сгруппировав слагаемые при одинаковых степенях неизвестного параметра, получим алгебраическое уравнение степени n относительно :

Это  уравнение  называется   характеристическим  уравнением   матрицы и имеет в общем случае  n  корней, возможно комплексных, которые называются  собственными  значениями  матрицы  и  в  совокупности составляют спектр матрицы.  Относительно n корней различают два случая: все корни различные или некоторые корни кратные.

Важным свойством характеристического уравнения матрицы A является то, что согласно теореме Гамильтона-Кели, матрица A удовлетворяет ему:

где           – k-тая степень матрицы.

Подставляя каждое  в однородную систему, получим векторно-матричные уравнения для  нахождения векторов  или векторов-строк . Эти векторы называются соответственно правыми собственными векторами и левыми собственными векторами  матрицы.

Решение однородных уравнений имеет некоторую специфику. Если  (как в равной мере и ) является решением, то, будучи умноженным на произвольную константу, оно тоже будет являться решением. Поэтому в качестве собственных векторов берут такие векторы, которые имеют норму, равную единице, и тогда:

Если все собственные числа различны, то собственные векторы матрицы A образуют систему n линейно независимых векторов таких, что