Матрицы и определители

Упорядоченный набор коэффициентов из системы линейных алгебраических уравнений используется для получения числовой характеристики, величина которой инвариантна по отношению к эквивалентным преобразованиям системы. Речь идет об определителе матрицы. Важное свойство определителей матрицы обнаруживается в связи с вычислением произведения матриц:

Учитывая это свойство и зная, что определитель единичной матрицы det(E)=1, можно найти матрицу B  и ее определитель из уравнения:

 откуда следует, что    и  .

Из свойств определителей нелишне помнить и такие:

где           – транспонированная матрица  A ,

 n  –  размер квадратной матрицы  A ,

 – матрица перестановки строк или столбцов,

s,c=0,1,...,n - число выполненных перестановок  строк и/или столбцов.

Если обратная матрица исходной системы уравнений определена, то, используя эквивалентные преобразования их векторно-матричной  записи, решение уравнений можно представить в следующем виде:

Умножив вектор правых частей на обратную матрицу, получим вектор решения.

Классический способ вычисления обратной матрицы использует определители и осуществляется по формуле:

 ,

где           – алгебраическое дополнение, а  – минор матрицы A, получаемый вычислением определителя матрицы  A,  в которой вычеркнуты j-тая  строка  и  i-тый  столбец.

Такой способ вычисления определителя представляет в основном теоретический интерес, так как требует выполнения неоправданно большого числа операций.

Очень просто вычисляется определитель, если матрица диагональная или треугольная. В этом случае определитель равен произведению диагональных элементов. Кстати и решения уравнений, имеющих такие матрицы   коэффициентов,   получаются   тривиально.   Поэтому основные усилия  разработчиков  методов  решения  алгебраических  уравнений направлены  на  поиск  и  обоснование  эквивалентных  преобразований матрицы с сохранением всех ее числовых характеристик, но имеющих в конце преобразований диагональную или треугольную форму.