Умножение векторов и матриц

Среди n-мерных векторов и векторных операций над ними важно выделить сумму n векторов, умноженных на числовые константы:

,

которая при произвольном выборе  в частности может оказаться нулевым вектором (с нулевыми компонентами)  или одним из суммируемых векторов . Если нулевой вектор при суммировании не нулевых векторов можно получить лишь в случае, когда все , то такие векторы в наборе называют линейно независимыми. Такими векторами в частности будут единичные векторы , у которых все компоненты нулевые, кроме единичной компоненты, расположенной на  j-строке. 

Линейно независимый набор единичных векторов с геометрической точки зрения можно рассматривать как n-мерную систему координат. Набор компонент любого вектора в этой n-мерной системе определяет координаты точки конца вектора, исходящего из начала координат, а также являются длинами проекций вектора на координатных осях.

Среди матриц размера  и операций с ними в первую очередь необходимо отметить операцию умножения матрицы на матрицу. Необходимость введения операции умножения матриц возникает уже при первом взгляде на полученную векторную форму записи линейного уравнения . Векторы слева и справа имеют равные компоненты. Так как коэффициенты в строках матрицы в общем произвольны по величине, то соответствующие компоненты вектора x не обязаны быть равными компонентам вектора y. Последнее означает, что умножение вектора x на матрицу A вызвало изменение длины и направления вектора x. Если аналогичное преобразование выполняется над вектором правой части до решения уравнения, то вектор левой части должен быть преобразован так же:

 .

Фактически мы имеем дело с заменой системы координат. Рассмотрим методику вычисления коэффициентов результирующей матрицы уравнения:

,

где           – элемент матрицы С, равный скалярному произведению вектор-строки  матрицы В на вектор-столбец  матрицы А.

Произведение матриц в общем случае не коммутативно. Ассоциативный и распределительный законы в матричных выражениях выполняются.