Уравнения, векторы, матрицы, линейная алгебра

Многие из рассмотренных нами задач сводились к формированию систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений, которые требовалось решить.  Пока системы включали в себя не более трех-четырех переменных, их несложно было решать известными классическими методами:  методом определителей (Крамера) или методом исключения переменных (Гаусса). С появлением цифровых вычислительных машин порядок алгебраических уравнений, решаемых методом исключений вырос в несколько десятков раз. Однако выявилось множество причин, по которым решение таких систем получить не удавалось. Появившиеся различные модификации метода исключения не привели к существенным улучшениям ситуации с получением решений. Появление же систем с количеством переменных более многих сотен и тысяч заставили обратиться и развивать итерационные методы и методы эквивалентных векторно-матричных преобразований применительно к решению линейных систем алгебраических уравнений.

Основные теоретические результаты были получены путем обобщения известных классических методов функционального анализа и алгебры конечномерных линейных пространств на векторно-матричные представления систем линейных алгебраических и дифференциальных уравнений.

Общая форма записи линейной системы алгебраических уравнений с n неизвестными может быть представлена следующим образом:

Здесь       -  неизвестные,

  -  заданные числа,

 - заданные числовые коэффициенты.

Последовательность записи уравнений в системе и обозначение неизвестных  в  последней  не  играет  роли.  В этом  плане удобно при анализе и исследованиях системы использовать упорядоченную индексацию натурального  ряда  для  неизвестных,  значений  правых  частей  и коэффициентов в уравнениях, однозначно привязывая, тем самым, каждое слагаемое  и каждое уравнение к определенной позиции в общей записи. В результате можно выделить в данной записи уравнений  три  позиционно упорядоченных неделимых объекта:

список переменных  - ,

список правых частей  -   и

матрицу коэффициентов  - .

Первые два объекта в линейной алгебре называют вектором-строкой, а второй - квадратной матрицей.

Операции с векторами, матрицами должны быть определены так, чтобы однозначно отображать допустимые эквивалентные преобразования исходной системы алгебраических уравнений. В предельных случаях  задания векторов и матриц:    ,   - аддитивные и мультипликативные  операции  должны  переходить в аналогичные операции  со  скалярными  величинами.

Если рассмотреть  i-тую строку исходной системы

 ,

то в ней кроме упорядоченного расположения компонент  присутствует упорядоченное по индексу j размещение коэффициентов , которые могут рассматриваться как  вектор-строка . Результатом суммы покомпонентного перемножения двух векторов-строк должно быть число. В линейной алгебре такая операция с векторами определена и названа скалярным или внутренним произведением векторов:

 .

Скалярное произведение линейно, так как обладает основными свойствами линейных преобразований , и коммутативно.

Определение скалярного произведения  позволяет переписать исходную систему уравнений в виде вектора с компонентами из скалярных произведений:

или

  .

Вторая форма представления векторов в форме столбцов более наглядна в смысле зрительного установления покомпонентного равенства двух векторов: стоящего слева от знака равенства и справа. Эта форма, форма вектора-столбца принята за каноническую (основную).

Левый вектор-столбец в записи каждой строки содержит вектор неизвестных и естественно желание вынести его за прямые скобки. Оставшиеся коэффициенты упорядочены, как в матрице . Теперь для представления исходной системы уравнений в виде  несложно определить векторно-матричную операцию , результатом которой является вектор с i-той компонентой, равной  .

Аксиоматическое построение линейной (векторной) алгебры с рассмотренными базовыми операциями позволило установить важные и полезные свойства, как самих объектов алгебры, так и их алгебраических выражений.