Сеточные методы для нестационарных задач

Уменьшение величины шага приводит к квадратичному возрастанию числа точек в области решения, а следовательно, к порядку алгебраической системы уравнений. Одним из путей уменьшения числа уравнений является метод прямых, который позволяет аппроксимировать дифференциальное уравнение в частных производных системой дифференциальных уравнений в обыкновенных производных с краевыми условиями. Для этого частные производные по одной из независимых переменных не заменяют конечно-разностным эквивалентом. Если в уравнении оставлена пространственная переменная, то получаемая система будет краевой задачей со всеми сложностями  ее решения, рассмотренными ранее.

Существенным будет выигрыш лишь при решении дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих нестационарные процессы. К ним относятся уравнения, подобные уравнениям теплопроводности и волновому. Этим уравнениям кроме условий на границе задают еще  и начальное распределение искомой функции во всех точках области решения.

Применение метода прямых рассмотрим на примере решения уравнения теплопроводности следующего вида:

,

которое описывает распространение тепла (изменение температуры) вдоль металлического стержня, вваренного своими концами в две металлические пластины с разными, постоянно поддерживаемыми на них температурами. Коэффициент B, характеризующий свойства материала, возьмем равным 1.

Пусть расстояние между пластинами равно единице, т.е. , значения температуры на пластинах   и начальное распределение температуры по длине   .

Разобьем единичную длину стержня на 8 равных частей (h=1/8)и обозначим значение температуры в каждой точке через , k=0,1,...,8. Применим пяти- и шести точечную аппроксимацию частной производной второго порядка: первую симметричную - для внутренних точек, и вторую (несимметричную) – для приграничных точек . Температуры в точках с  k=0и k=8  заданы: 100° и 0°.

После замены производных конечно-разностными эквивалентами получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений с начальными условиями    в векторно-матричной форме:

Чтобы получить представление о влиянии порядка разностных формул на вид записи и точность решения задачи, в таблице приведены системы уравнений для 5- и 3-точечных выражений частных производных:

Полученные системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно решать любым из рассмотренных ранее численным методом. Правда, появляется особенность в выборе шага интегрирования по времени, который теперь зависит еще и от шага разбиения области решения по пространственной переменной. В случае аппроксимации производной по времени конечными разностями “вперед” соотношение между шагом по временной переменной  и по пространственной должно подчиняться следующему неравенству: . При несоблюдении неравенства решение будет численно неустойчивым и интегрирование по времени с каждым шагом будет давать  неограниченно возрастающие значения.

В рассматриваемом примере =0,015625, поэтому интегрирование трех систем по формулам Рунге-Кутта было выполнено с шагом по времени = 0,001 до значения 0,01 и с шагом 0,005 – до значения времени, равного 0,75. Выборка ряда значений температуры из решений в интервале времени (0,0.75] показана в таблице колонками из трех чисел, соответствующих сверху-вниз трем приведенным выше системам.

Как видно, трех точечная аппроксимация по сравнению с пятиточечной дает худший результат. Точное решение в установившемся режиме дает изменение температуры на каждой одной восьмой длины стержня  12,5°С. Пятиточечная  аппроксимация в данной задаче дала погрешность в сотые доли процента.