Повышение точности разностных схем

Оператор сдвига, преобразующий значение функции в точке z в значение функции в точке  z+h выражается через оператор производной , как  ,  а его применение представляется выражением:

Обозначив операторные выражения для сдвига значений функции по осям x, y соответственно

несложно записать с их помощью следующие операторные выражения:

Во фрагменте сетки, изображенной в виде таблицы , для каждой представленной индексом точки записано  значение функции, выраженное через значение функции в центральной точке, преобразованное соответствующими операторами сдвига:

Вычислим суммы значений функций, симметрично располагающихся вокруг центральной точки:

Подобными преобразованиями операторных выражений можно получить формулы для следующих сумм:

    и любых других.

Включая выражения для частичных сумм в единую сумму с различными весовыми коэффициентами, пренебрегая выражениями с производными и лапласианами высоких порядков, получают конечно-разностные формулы, аппроксимирующие уравнение Лапласа в заданной точке и содержащие большее число значений искомой функции.

Например, из выражения для   непосредственно следует

что, после пренебрежения слагаемыми в правой части, полностью соответствует трех точечной разностной аппроксимации частных производных.

Суммируя   и   с весами соответственно 4 и 1, получим аппроксимацию производных по значениям в восьми точках:

Если значения частных производных в точках области решения малы, то радикальным способом увеличения точности аппроксимации уравнения является уменьшение шага сетки.

При задании в правой части  уравнения Лапласа функции  g(x,y) последняя в приведенных конечно-разностных суммах должна заменить  на  ,   – на    и  т.д.: