Разностные системы уравнений для краевых задач

Исходные дифференциальные уравнения во многих физических и технических применениях решаются для случаев, когда заданы значения искомых функции и/или ее производных в различных точках интервала интегрирования и, в частности - на концах интервала. Такого рода уравнения в обыкновенных производных или системы из таких уравнений называются краевой задачей.

Общим методом решения краевой задачи является преобразование ее в систему алгебраических уравнений относительно множества неизвестных значений искомой функции, выбранных в точках, равномерно расположенных на оси абсцисс, т.е. заданных на сетке известных значений независимой переменной.

Для линейной системы уравнений первого порядка, записанной в матричной форме относительно вектора  как

,

обязательно задается полный набор краевых условий , включающий хотя бы одно значение , или набор комбинаций из значений  и

Обычно  задаваемое  граничное  значение  совмещается  с  тем  или  иным n-ным сеточным значением независимой переменной. Это позволяет обходиться без преобразования граничных условий к ближайшей точке сетки.

Векторы , ,  и матрица   в  общем  случае  приводятся  к  единичному интервалу изменения независимой переменной с помощью линейного преобразования , в котором   с шагом по оси абсцисс равном . Благодаря этому производные в левых частях единообразно заменяются (M+1)-точечными конечно-разностными выражениями через искомые значения решения:

.

Многоточечные представления производных получаются путем применения существующих соотношений между операторами дифференцирования, конечных разностей и сдвига:

Чтобы выразить значение производной порядка k в m-той точке целочисленного интервала [0, n] через ординаты функции  необходимо выполнить следующие операторные преобразования:

Заменив конечно-разностные операторы  (после приравнивания нулю разностей со степенями выше n) выражениями с оператором сдвига  и вспомнив, что  , получим в результате для k-той производной в m-той точке взвешенную сумму из ординат искомой функции:

.

Погрешность аппроксимации дифференциального оператора конечно-разностным оператором для центральной точки (m=n/2) пропорциональна с наименьшим коэффициентом величине  и c наибольшим – для точек конца интервала.

Часто применяемые выражения конечно-разностной аппроксимации производных первого и второго порядков  по трем-семи равномерно расположенным точкам приведены ниже в таблицах в виде коэффициентов, стоящих перед соответствующими ординатами функции. В левом верхнем углу таблиц записан общий множитель, а в крайней правой колонке – коэффициенты  k1, k2для формул погрешности.

Трех точечная аппроксимация первой производной

Четырех точечная аппроксимация первой производной

Пятиточечная аппроксимация первой производной

Шести точечная аппроксимация первой производной

Семи точечная аппроксимация первой производной

Трех точечная аппроксимация второй производной

Четырех точечная аппроксимация второй производной

Пятиточечная аппроксимация второй производной

Шести точечная аппроксимация второй производной

Семи точечная аппроксимация второй производной

Например, производная первого порядка в точках m=0, 3, 5 для семи точечной аппроксимации будет иметь вид:

,

.

Аналогично выписываются выражения и для вторых производных в точках 0 и 2:

Таким образом, из приведенных таблиц можно выбрать аппроксимирующие выражения для производной в данной  точке, включающие  значения функции в точках нужного окружения.