Приведение к системе уравнений первого порядка

Выше были рассмотрены способы конечно-разностного представления дифференциальных операторов, которые позволяют свести дифференциальные уравнения к уравнениям в конечных разностях. При этом было отмечено, что лишь самое грубое представление производной – конечной разностью первого порядка, дает возможность реализовать само начинающуюся численную процедуру решения. Если эти методы переносить на системы дифференциальных уравнений высокого порядка, то в первую очередь возникает потребность преобразования исходной системы в систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим образом преобразованными начальными или граничными условиями.

Преобразование в систему уравнений первого порядка не единственно. Наиболее популярные из них в большинстве своем касаются линейных систем с постоянными или переменными коэффициентами. Основная идея всех методов состоит во введении новых переменных и выполнении замены высших производных  этими переменными.

Пусть неоднородное дифференциальное уравнение высокого порядка задано в виде:

где           – соответственно i-тая производная искомого

решения и ее значение в начальный момент,

 – функция, описывающая внешнее воздействие на динамический

объект.

Обозначим первую производную искомой функции новой переменной , первую производную  – следующей переменной: , первую производную  – переменной   и т.д.. Таким образом из исходной системы мы сформируем  дифференциальное уравнение первого порядка:

При таких заменах производных искомой функции  ее n-ная производная оказывается равной первой производной от  :

В результате, эквивалентная система дифференциальных уравнений  первого порядка примет следующий вид:

В случае, когда правая часть представлена взвешенной суммой функции   и ее производных и в целом дифференциальное уравнение имеет вид

то его преобразование в систему уравнений первого порядка с новыми переменными   осуществляется по следующим формулам:

Такое преобразование сохраняет коэффициенты исходного уравнения неизменными и исключает производные в правой части от .  Начальные условия для новых переменных здесь приходится пересчитывать по достаточно сложным соотношениям.

И, наконец, приведем еще один вариант разложения на систему уравнений первого порядка исходного неоднородного уравнения с производными в правой части:

Замена переменных в отличие от предыдущего случая производится без сохранения коэффициентов исходного уравнения:

Производные искомой функции    можно выразить через вновь введенные переменные    путем многократного дифференцирования левой и правой части соотношения для y с подстановкой после каждого дифференцирования производных  :

Умножив каждое выражение для    на коэффициенты  и просуммировав правые и левые члены равенств, получим уравнение, которое отличается от исходного лишь коэффициентами при производных в правых частях. Чтобы добиться тождественности, необходимо коэффициенты при соответствующих производных приравнять и  разрешить полученную систему уравнений относительно неизвестных  .

Система уравнений имеет вид:

В векторно-матричной форме это уравнение и его решение записываются в следующем виде:

где           – вектор известных коэффициентов,

 – вектор искомых коэффициентов,

 – соответственно прямая и обратная верхне-треугольные

матрицы коэффициентов. Первая из них выглядит так:

.

Обратная матрица удобна при использовании математических пакетов для решения векторно-матричного уравнения. Если , то коэффициенты  легко вычисляются последовательной подстановкой значений , начиная с .

Начальные условия для  вычисляются по выражениям для  следующим образом:

или в векторно-матричной форме:

,

где         

.