Функционалы в задачах условной оптимизации

Конструирование выпуклого квадратичного функционала с учетом ограничений рассмотрим для следующей задачи:

В приведенную обобщенную запись задачи минимизации включены:

Минимизируемая функция вектора искомых параметров (функция цели или критериальная функция):

f(x),     .

Система ограничений типа равенств:

Система ограничений типа неравенств:

Ограничения на изменения  самих неизвестных параметров

,

которые в принципе являются частным случаем ограничений типа неравенств    при  ,  кроме    и  ,  задающего границы изменения конкретного параметра:

В качестве квадратов функций невязок для ограничений типа равенств берутся квадраты исходных равенств, умноженные на выравнивающие масштабирующие коэффициенты, которые позволят каждой невязке вносить в общий функционал одно-порядковые приращения при подстановке в него вектора неизвестных:

,    j=1, 2, ... ,J.

Систему неравенств необходимо предварительно преобразовать в систему равенств путем умножения ее на единичную (знаковую) функцию

Теперь система квадратов невязок для неравенств будет представлена в виде квадратов  следующих функций

.

Аналогично вводятся квадраты невязок и для ограничений на параметры снизу и сверху:

Составной функционал, учитывающий ограничения и требующий минимизации, можно теперь записать в следующем виде:

.

В результате проведенных преобразований исходная задача сведена к задаче безусловной оптимизации и, применяя метод наискорейшего спуска, систему покомпонентных градиентных уравнений получим в виде:

Выражение для  в больших круглых скобках задает кривую с зоной нечувствительности для  в интервале . В этом интервале выражение в скобках равно нулю, а вне интервала - пропорционально  с коэффициентом  . Если ограничения на переменную не вводятся, т.е.  ее границы раздвинуты от    до  , то выражение в скобках будет равно нулю.