Конструирование выпуклого квадратичного функционала с учетом ограничений рассмотрим для следующей задачи:
![](chislmetod/Untitled-4_clip_image032.gif)
В приведенную обобщенную запись задачи минимизации включены:
Минимизируемая функция вектора искомых параметров (функция цели или критериальная функция):
f(x),
.
Система ограничений типа равенств:
![](chislmetod/Untitled-4_clip_image036.gif)
Система ограничений типа неравенств:
![](chislmetod/Untitled-4_clip_image038.gif)
Ограничения на изменения самих неизвестных параметров
,
которые в принципе являются частным случаем ограничений типа неравенств
при
, кроме
и
, задающего границы изменения конкретного параметра:
![](chislmetod/Untitled-4_clip_image050.gif)
В качестве квадратов функций невязок для ограничений типа равенств берутся квадраты исходных равенств, умноженные на выравнивающие масштабирующие коэффициенты, которые позволят каждой невязке вносить в общий функционал одно-порядковые приращения при подстановке в него вектора неизвестных:
, j=1, 2, ... ,J.
Систему неравенств необходимо предварительно преобразовать в систему равенств путем умножения ее на единичную (знаковую) функцию
![](chislmetod/Untitled-4_clip_image054.gif)
![](chislmetod/Untitled-4_clip_image056.gif)
Теперь система квадратов невязок для неравенств будет представлена в виде квадратов следующих функций
.
Аналогично вводятся квадраты невязок и для ограничений на параметры снизу и сверху:
![](chislmetod/Untitled-4_clip_image060.gif)
Составной функционал, учитывающий ограничения и требующий минимизации, можно теперь записать в следующем виде:
.
В результате проведенных преобразований исходная задача сведена к задаче безусловной оптимизации и, применяя метод наискорейшего спуска, систему покомпонентных градиентных уравнений получим в виде:
![](chislmetod/Untitled-4_clip_image064.gif)
![](chislmetod/Untitled-4_clip_image066.gif)
![](chislmetod/Untitled-4_clip_image068.gif)
Выражение для
в больших круглых скобках задает кривую с зоной нечувствительности для
в интервале
. В этом интервале выражение в скобках равно нулю, а вне интервала - пропорционально
с коэффициентом
. Если ограничения на переменную не вводятся, т.е. ее границы раздвинуты от
до
, то выражение в скобках будет равно нулю.