Возьмем в качестве примера интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования функции “назад”, т.е. в сторону меньших значений независимой переменной по отношению к текущему ее значению:
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image002.gif)
Построение такого интерполяционного многочлена удобно осуществлять с применением повторных конечных разностей “назад”:
.
Взаимосвязь оператора
и рассмотренных выше операторов
и
характеризуется следующими соотношениями:
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image012.gif)
Выразим ординату функции, отстоящую от текущей на k шагов назад, через ординату функции
в текущей точке и выполним ряд эквивалентных преобразований с названными линейными операторами:
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image016.gif)
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image018.gif)
Если положить
, то
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image022.gif)
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image024.gif)
Таким образом, интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования “назад” принимает вид:
,
где
принимает целые значения для
,
– i-тая повторная конечная разность “вперед”, вычисляемая по значениям функции в соответствии с таблицей:
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image034.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image036.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image038.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image040.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image042.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image044.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image046.gif)
|
-4 |
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image048.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image050.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image052.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image054.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image056.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image058.gif)
|
-3 |
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image060.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image062.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image064.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image066.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image068.gif)
|
– |
-2 |
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image070.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image072.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image074.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image076.gif)
|
– |
– |
-1 |
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image078.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image080.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image082.gif)
|
– |
– |
– |
0 |
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image084.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image086.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image088.gif)
|
– |
– |
– |
1 |
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image090.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image092.gif)
|
![](chislmetod/Untitled-3_clip_image094.gif)
|
– |
– |
– |
В таблице жирным шрифтом выделены конечные разности от нулевого порядка и выше, которые входят в интерполяционную формулу Ньютона.