Решение линейных разностных уравнений

Система линейных разностных уравнений может быть в ряде случаев решена и аналитически. Решение представляется в виде алгебраического выражения от целочисленной переменной. Методика решения аналогична той, что применяется и при решении линейных дифференциальных уравнений.

Используется тот факт, что общее решение неоднородного линейного уравнения представляется взвешенной суммой системы фундаментальных решений однородного уравнения и одного частного решения уравнения неоднородного. Воздействие  неоднородности на характер общего решения не связано с конкретными значениями начальных условий. Именно это позволяет находить лишь одно частное решение уравнения с правой частью. Число фундаментальных решений однородного уравнения определяется порядком последнего.

В качестве частных решений для линейных уравнений обычно используют функции, инвариантные по отношению к операции сдвига, т.е. функции, не изменяющие своей структуры при переносе начала координат. В конечно-разностных уравнениях это показательные функции:

где          p – некоторый параметр-константа.

Количество частных решений определится числом параметров , для которых    будет обращать разностное уравнение в тождество.  Общее решение составляется в виде суммы частных решений, умноженных на коэффициенты, определяемые конкретными начальными условиями.

Рассмотрим пример решения линейного неоднородного уравнения третьего порядка.

Пусть требуется заменить рекуррентный вычислительный процесс с псевдокодом следующего вида:

на формульное выражение для , как функции от n, позволяющее выборочно вычислять значение любого члена последовательности.

Для этого в рекуррентном операторе цикла заменим оператор ':=' на символ равенства  '='  и запишем полученное уравнение в форме неоднородного разностного уравнения относительно :

.

В качестве фундаментальной системы функций возьмем   тогда характеристическое уравнение примет следующий вид:

.

Решив уравнение, найдем корни:  ,

следовательно, частными решениями однородного уравнения будут:

Частное решение неоднородного уравнения (с правой частью) попробуем найти в виде функции, которая будет пропорциональна квадратуре от правой части с неизвестными коэффициентами:

Для нахождения  коэффициентов  a  и  b  подставим в уравнение  и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях  n  в левой и правой  частях полученного равенства. Последовательно выполняя сказанное, имеем:

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые при различных степенях n, получим

откуда      и  частное решение примет вид

.

Общее решение для конкретных начальных условий ищем в виде суммы частных решений:

.

Константы  находим из уравнений, получаемых после подстановки в общее решение значений для    при  :

В результате, общее решение  неоднородного уравнения будет:

Для примера выпишем несколько первых членов ряда, полученных вычислением этого выражения:    [0, -1, 1, 2, 2, 5, 11, 16, 20, 27, 37, 46, 54, 65, 79, 92, 104, 119, 137, 154, 170, ...]