Построение квадратурных формул с плавающими узлами

В качестве примера  найдем квадратурную формулу с тремя плавающими узлами для функций , принадлежащих множеству , где n=5. Формула должна иметь 3 слагаемых с шестью параметрами. Интервал интегрирования возьмем .

где           – неизвестные весовые коэффициенты,

 – неизвестные узловые точки, в которых должна

вычисляться подынтегральная функция.

Вычисляются определенные интегралы для множества базисных функций:

Подстановка базисных функций в выражение с параметрами и их приравнивание соответствующим значениям интегралов от базисных функций приводит к следующей системе нелинейных уравнений:

Решение таких уравнений основано на существовании двух канонических форм записи нулей степенных уравнений:

где           – коэффициенты, выражаемые через корни .

И первая и вторая формы обращаются в нуль, если  .

Чтобы выделить из системы уравнений узловые многочлены, умножим первые 4 уравнения системы  на коэффициенты из левой колонки и найдем их сумму, затем умножим соответствующие уравнения на среднюю колонку и найдем их сумму и, наконец, – на правую колонку и тоже просуммируем:

Все взятые в круглые скобки узловые многочлены обязаны быть равными нулю, так как в них подставлены значения узлов , в которых многочлен  обязан обращаться в нуль. Поэтому правые части уравнений равны нулю и после подстановки в левые части числовых значений для  получается система линейных алгебраических уравнений относительно пока неизвестных констант  :

.

Последнее вытекает из неравенства нулю определителя однородного уравнения. Таким образом, узловые точки, в которых будут вычисляться значения подынтегральной функции, находятся из кубического уравнения:

Корни легко находятся и равны следующим значениям:

.

Теперь остается найти весовые коэффициенты, для чего в первые 3 уравнения подставим найденные значения узловых точек:

Отсюда:    .

В результате квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точности приняла следующий окончательный вид:

Оценить погрешность квадратурной формулы можно, если в этих же пределах проинтегрировать отбрасываемую часть разложения в ряд Тейлора подынтегральной функции. Первые n членов ряда определяют максимальную степень базисных функций, а значит, и алгебраическую степень точности полученной на их основе формулы.