Вычисление определенных интегралов

Задача вычисления определенного интеграла в случаях, когда невозможно  аналитически получить первообразные, может быть решена с помощью квадратурных формул.

Основная идея построения квадратурных формул заключается в том, что  вычисление интеграла (площади) заменяется выражением, в котором  используются некоторые значения подынтегральной функции. В качестве  квадратурного выражения обычно выбирают взвешенную сумму значений подынтегральной функции.

Количество параметров квадратурного выражения тесно связано со степенью подынтегральной функции, если последняя может быть описана степенным полиномом ограниченной степени. В общем случае это невозможно, например, когда  подынтегральная функция терпит разрыв.

Для устранения особенности интегрируемой функции, последнюю представляют произведением весового сомножителя, включающего в себя характерную особенность, и части подынтегральной функции, которая после исключения особенности может представляться степенным многочленом.

Возможность представления подынтегральной функции полиномом позволяет оценить минимально необходимое число параметров в квадратурной формуле, исходя из критерия получения по ней абсолютно точного значения интеграла. Так, для подынтегральной функции, представленной полиномом нулевой степени, вычисление площади в интервале [a,b] достаточно одного значения функции (площадь прямоугольника). Для полинома первой степени – два значения (площадь трапеции). Для второй степени – три, и т.д. Последнее следует из того, что через (n+1) точку можно провести единственную кривую n-й степени.

Параметрами квадратурных формул являются коэффициенты при значениях полиномиальной подынтегральной функции и значения независимой переменной, при которых вычисляется подынтегральная функция.

где           – параметры квадратурной формулы,

 – функция с выделенной особенностью,

 – весовая функция, включающая особенность.

Для подынтегральных функций без особенностей  p(x)=1.

Квадратурные  формулы строятся для пределов интегрирования  и . Замена пределов интегрирования  на  или  осуществляется линейным преобразованием, которое выше было уже рассмотрено.

Построение любой квадратурной формулы начинается с решения вопроса о классе подынтегральных функций, для которых формула будет абсолютно точна. Если выбраны функции степенного базиса, то число параметров, которое необходимо ввести в квадратурную формулу, равно наивысшей степени n базисной функции, увеличенной на единицу.

Если точки, в которых вычисляются значения подынтегральной функции, определены условиями удобного положения или простотой вычисления в них, то в квадратурной формуле число слагаемых будет равно числу параметров. Если положения точек тоже взяты в качестве параметров, то число слагаемых может оказаться и вдвое меньше. В квадратурную формулу можно ввести также значения производных подынтегральной функции в заданных точках, если вычисление производных проще, чем вычисление функции.

Когда все условия построения квадратурной формулы оговорены, то, используя метод неопределенных коэффициентов (параметров), составляют систему алгебраических уравнений путем подстановки в интеграл и квадратурную формулу базисных функций. Так как число их равно числу параметров, то система будет определена.