Системы исчисления

     Система счисления - (number system) это совокупность приемов и правил наименования и обозначения чисел.
     Цифра – множество символов, применяемых в данной системе счисления.

Основными типами данных, которые встречаются при обработке информации в ЭВМ, являются числа, которые представленные в двоичной системе счисления, а также алфавитно-цифровые символы. Для кодирования символов используются специальные коды, наиболее распространенными из которых есть семи- и восьми битные  двоичные  коды, например, ASCІІ коды (американский стандартный код для передачи информации).

Тип системы счисления определяется по ее основанию. Системы можно классифицировать: 
      - непозиционные – системы, в которых символ (цифра, буква, иероглиф) сохраняет свое значение независимо от его положения в числе;
- позиционные – системы, в которых значение символа зависит от его положения (позиции) в числе.
Примером непозиционной системы исчисления является  римская система. В  римской  системе  исчисления  используют такие цифры:
І = 1,
V = 5,
Х = 10,
L = 50,
С = 100,
D = 500,
M = 1000.

     В этой системе число 2005 записывают как ММV, а 1982 как  MCMLXXXII.
Любое число Ni  в позиционной системе счисления с основанием g можно представить в виде:

    

где  ai –количество единиц данного разряда;
p - основание системы (любое целое от 2 до );
i - номер разряда.
Если известно основание, то число можно записать как

В вычислительной технике наиболее часто используются позиционные системы счисления: десятичная, двоичная и шестнадцатеричная.

     Десятичная система счисления.  Для десятичной системы счисления:
      р = 10;

Например, в десятичной системе исчисления число 237,58 представлено как
2?102 + 3?101 + 7?100 + 5?10–1 + 8?10–2.
Символ "," называется запятой (точкой) системы исчисления. Часть числа, которая размещенная слева от  этого символа носит название целой частью числа, справа - дробной частью.

     Двоичная система счисления.  Для двоичной системы  счисления:
      р = 2;

Например, в двоичной  системе исчисления число 101 представлено как
1012 =1?22 + 0?21 + 1?20 = 510 .
Достоинство двоичной системы счисления:

• Наименьшее число цифр для записи чисел.
• Простота выполнения арифметических операций. Используется только одна арифметическая операция сложение и сдвиг.
• Простота технической реализации устройств для обработки и хранения двоичных чисел (всего 2 состояния «0» и «1»).
• Надежность технических устройств.

     Недостатки двоичной системы счисления:

• Громоздкость чисел;
• Большая разрядность устройств  для обработки и хранения двоичных чисел.

Шестнадцатеричная система счисления.  Для шестнадцатеричной системы  счисления:
      р = 16;
.
В системах исчисления с основанием большее 10 используют десять цифр для младших значений цифр разрядов и латинские буквы А, В, С...- для старших.
Например, в шестнадцатеричной  системе исчисления число 10A представлено как               10A16 =1?162 + 0?161 + 10?160 =256+0+10=26610.

Шестнадцатеричная система счисления используется для более короткой и удобной записи двоичных кодов команд, операндов и адресов.

Если необходимо обозначить основание системы исчисления, то используют числовые индексы или латинские буквы: для двоичных  чисел индекс 2 или литера В (Bіnary), для десятичного - индекс 10 или литера D (Decіmal), для шестнадцатеричного - индекс 16 или литера Н (Hexadecіmal).