Моделирование краевой задачи итерационным методом

Методом последовательного приближения решить однородное- дифференциальное уравнение второго порядка вида:

 .

Программирование задачи

Исходное уравнение представим в виде системы базовых соотношений, для которых используем соответствующие операционные блоки с их соотношениями между входными и выходными напряжениями:

Возьмем (для упрощения уже известной процедуры расчета параметров) масштабные множители для переменных одинаковые и равные единице. После замены переменных в машинном уравнении и выполнении условий подобия, получим следующие соотношения для коэффициентов передач операционных блоков:

.

Масштаб времени выберем такой, чтобы одна секунда реального времени соответствовала в машине (т.е. в модели) 10-4 секунд. Для этого в интеграторах необходимо установить коэффициенты передач 104. Так как решение задачи будет происходить в течение одной десятой миллисекунды, то время периодизации решения в итераторах (шаг по времени) необходимо установить таким же.

Схема соединения операционных блоков с двумя блоками итерационного подбора начальных условий приведена на рисунке 64.

Рисунок 64

В схему введены цепи итерационного поиска нулей у двух функций двух аргументов: функция решения и функция производной решения. Функцию решения обслуживает итератор Х5, а функцию производной решения - итератор Х4. В параметрах этих блоков на первом месте поставлены произвольные значения начальных условий (соответственно –1 и 0.5), на втором - требуемые конечные значения для функции (0.5) и ее производной (–0.6), на третьем - интервал решения задачи (10-4 с). Выходной импульс из итераторов осуществляет синхронный периодический сброс обоих интеграторов в нулевое со-стояние, а выходные напря-жения итераторов задают интеграторам очередные на-чальные условия.

Результаты модели-рования схемы представ-лены на рисунке 65.

В течение 10 милли-секунд выполнено 10 решений. На графиках горизонтальными отрезками в течение каждого миллисекундного интервала решения изображаются устанавливаемые итераторами очередные начальные условия для функции и ее производной. На итерациях 8-10 начальные условия достигли искомых значений=0.963 и =0.024. При этом, как видно из второй колонки под графиками, значения функции и ее производной на концах интервала имеют заданные значения.