Оценка инструментальной погрешности решения

Задание

К задаче из раздела 2.3 разработать вычислительную модель для получения функции чувствительности решения к точности установки коэффициента b. По найденной временной зависимости этой функции вычислить для 5-10 временных сечений погрешность решения при условии, что погрешность параметра b равна 1%.

Получение и программирование уравнений чувствительности

Возьмем частную производную по b от левой и правой частей системы базовых соотношений, которая получена в результате разложения исходного уравнения в разделе 2.3. При дифференцировании будем учитывать, что все переменные, кроме независимых от b функций времени, зависят и от времени, и от параметра b:

При дифференцировании линейных базовых соотношений по параметру b первые три строки не изменили своей структуры, вызвав лишь замену зависимых переменных  своими функциями чувствительности , а внешнюю функцию времени  – со знаком минус функцией  из вычислительной модели исходного уравнения.

Дифференцирование нелинейного соотношения четвертой строки дает произведение производной функции чувствительности  на новую функцию того же аргумента: . На структурном уровне это потребует введения двух операционных блоков: функционального преобразования и умножения.

Частная производная пятой строки также потребует введения новых блоков: двух блоков умножения и один сумматор. Дифференцирование шестой строки дает выражение, для которого кроме блока умножения необходимо сгенерировать новую функцию времени . Определяющим дифференциальным уравнением этой функции будет уравнение следующего вида:

.

Для решения такого уравнения требуется интегратор, на вход которого поступает единичная функция времени.

Функции  в схему вычислительной модели должны вводиться из вычислительной модели исходного уравнения. Схема соединения операционных блоков для вычисления функций чувствительности приведена на рисунке 57.

Рисунок 57

Справа от системы базовых соотношений с функциями чувствительности представлена соответствующая ей система с машинными переменными.

Между функциями чувствительности и представляющими их напряжениями необходимо ввести масштабные множители. Масштабные множители переменных, которые вводятся из вычислительной модели уравнения в вычислительную модель функции чувствительности, используются без изменения.

Уже известными масштабными множителями являются:

Масштабные множители для функции чувствительности и ее производной выберем одинаковыми и равными

.

Дополнительный перечень новых масштабных соотношений выписан справа.

Для функции  при длительности наблюдения решений в одну секунду масштабный множитель вычислим так

.

Остальные масштабные множители рассчитаем или выберем в процессе установления подобия между уравнениями чувствительности и соотношениями ее вычислительной модели.

Приравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых группах переменных, получим следующую систему уравнений для параметров операционных блоков и масштабных множителей:

Последовательный расчет или выбор коэффициентов передач и масштабных множителей проводился здесь снизу вверх.

Начальные условия всех интеграторов в вычислительной модели уравнений чувствительности равны нулю по определению.

Корректность вычисления функций чувствительности оценим по результатам совместной работы одновременно следующих трех вычислительных моделей: вычислительных моделей исходного уравнения с точно и неточно установленным значением коэффициента b и вычислительной модели уравнений чувствительности. Коэффициентам передач по входам операционных блоков, которые определяются коэффициентом b , в вычислительной модели возмущенного уравнения дадим значения, например, на 1% меньше номинальных. На полной схеме, содержащей все три вычислительные модели и показанной на рисунке 58, этими коэффициентами являются q12= -3,96,  q61= -3,96  и q71= 3,96 (вместо 4).

Проверку количественных соотношений погрешности функции  и ее производной  выполним двумя методами:

• традиционным методом -   и

• по функциям чувствительности - ,

где     - относительная погрешность параметра b, равная 0,01;

 - масштабные множители, связывающие реальные и машинные переменные;

 - машинные переменные, представляющие решение и функцию чувствительности.

Рисунок 58

Для вычисления относительной погрешности необходимо регистрировать, по крайней мере три процесса: функцию возмущенного решения , функцию чувствительности решения  и функцию идеального  (невозмущенного) решения. Так как относительная погрешность является функцией времени, то к трем процессам добавим еще два: кривые погрешности, вычисляемые по традиционной методике и по функциям чувствительности. Графики погрешностей для их нормального представления в десяти вольтовой шкале напряжений умножим на 103.

На рисунке 59 приведены графики, позволяющие оценить погрешность решения исходного уравнения, а на рисунке 60 графики, позволяющие оценить погрешность производной решения. Числовые значения изображенных процессов в одиннадцати временных сечениях представлены в таблице 7.

Рисунок 59

Рисунок 60

Таблица 7. – Числовые значения кривых в вольтах.

В таблице первая колонка представляет моменты времени. Колонки 2-6 представляют временные сечения кривых рисунка 59, а колонки 7-11 – временные сечения кривых рисунка 60. Относительные погрешности, помещенные в таблицу и изображенные на кривых, вычислялись по формулам:

,

.

Разделив табличное значение напряжения на 1000, мы получим значение относительной погрешности. Например, при  t=0,7 с погрешность решения составляет примерно 0,4%  (0,00441 и 0,00407).

Нетрудно видеть, что метод, основанный на функциях чувствительности, позволяет с предельно высокой точностью оценивать погрешность решения задачи, вызванной неточностью установки в вычислительной модели параметров операционных блоков.

На рисунке 59 имеются в решении такие области, где относительная погрешность резко возрастает, хотя абсолютная погрешность имеет конечную монотонно изменяющуюся величину.