Метод преобразования краевых условий в начальные

Краевые задачи в обыкновенных производных можно разбить на два класса: линейные дифференциальные уравнения и нелинейные дифференциальные уравнения. Функция f(x,y) называется линейной, если она удовлетворяет следующему свойству:

 .

где    a, b - постоянные коэффициенты.

Для решения линейных краевых задач наиболее удобным является метод сведения краевой задачи к задаче Коши, благодаря следующим свойствам общих решений линейных дифференциальных уравнений:

• общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного;
• общее решение однородного уравнения равно сумме частных решений однородного уравнения, количество которых равно порядку уравнения;
• коэффициенты при частных решениях вычисляются путем подстановки в общее решение и в производные общего решения заданных краевых условий.

Частным решением уравнения является решение, полученное при любом конкретном наборе начальных условий. Выбираются наборы, упрощающие процедуру нахождения решений.

Рассмотрим применение метода преобразования краевых условий в начальные на примере решения в интервале   краевой задачи второго порядка следующего вида:

 .

Учитывая перечисленные выше свойства линейных краевых задач, запишем общее решение так:

 .

Частное решение неоднородного уравнения  проще всего получать при нулевых начальных условиях.

Весовые коэффициенты C1 и C2 удобно выражаются через начальные условия общего и частных решений  и , если для получения каждого частного решения все начальные условия выбирать нулевыми, кроме одного. Количество таких различных наборов начальных условий равно порядку решаемого уравнения. Для данного случая это

    и    .

Подставив начальные условия в общее решения и его производную, получаем систему для аналитического выражения весовых коэффициентов через неизвестные начальные условия задачи :

 ,

.

Несложные преобразования дают   и , т.е. весовые коэффициенты пропорциональны искомым начальным условиям.

Решив однородное уравнение с частными наборами начальных условий, получаем значения частных решений и их производных в конечной точке:

 ,

,

.

Подставив теперь в выражения общего решения и его производной  и выражения весовых констант C1 и C2 , получим систему алгебраических уравнений с неизвестными :

Решение алгебраической системы уравнений методом Крамера приводит к следующим формулам для искомых начальных условий:

Пересчитав заданные краевые условия в начальные, исходное дифференциальное уравнение можем решить, как задачу Коши. Таким образом, решение линейной краевой задачи в обыкновенных производных сводится, при использовании этого метода, к решению одной и той же задачи Коши, но с различными начальными условиями. Число таких решений равно числу неизвестных начальных условий плюс один.