Решение краевых задач в обыкновенных производных

Ряд важных технических и физических объектов описываются дифференциальными уравнениями, единственность решения которых обеспечивается заданием условий на краях интервала или области решения. При этом количество условий определяется числом независимых переменных и максимальным порядком их производных, входящих в уравнение или систему уравнений.

Если независимая переменная одна, то уравнение представляется в обыкновенных производных, которые в большинстве случаев представляются временем. При решении такого уравнения в заданном интервале изменения независимой переменной   значения искомой функции и ее производных могут быть заданы в граничных точках  и/или . Частным случаем задания набора граничных значений служит задача Коши, в которой все условия заданы в начале интервала изменения независимой переменной. Особых затруднений при решении задач Коши методом математического моделирования и числовыми расчетами не возникает, потому что для них используются само начинающиеся алгоритмы интегрирования явного вида (Эйлера, Рунге-Кутта и им подобные).

Трудности возникают тогда, когда кривые искомых решений и их производных обязаны пройти или достигнуть в конце интервала заданных условиями значений. Здесь спасают лишь те алгоритмы и процедуры, которые направлены на предварительное преобразование заданной группы условий в полный набор начальных условий.

Если независимых переменных две и более, то уравнение или системы уравнений представляются в частных производных. При этом независимые переменные могут иметь различную физическую природу, например, быть либо временем, либо пространственной переменной с несколькими измерениями и т.д.

Описанный математической моделью объект со многими независимыми переменными всегда существует в некоторой заданной и ограниченной области наблюдения. Значения искомых функций или ее производных на границе этой области служат теми условиями, которые обеспечивают единственность решения. Они называются граничными и, как правило, выражаются многомерными функциями координат, принимающих конкретные значения на границах области. Если решение представить некоторой гиперповерхностью, то граничные функции являются пространственными кривыми, образующимися в результате пересечений этой гиперповерхности с цилиндрической поверхностью, окружающей область решения.