Погрешность, вызванная неточностью задания параметров

В процессе программирования исходная математическая модель объекта исследования заменяется вычислительной моделью из операционных блоков, параметры которых рассчитываются на основании условий подобия. При расчете параметров мы допускаем вычислительную погрешность, а при установке параметров в операционных блоках – дополнительную, случайную погрешность. Поэтому, получаемые в вычислительной модели решения для всех переменных будут иметь отклонения от точного аналитического решения, если таковые удалось бы получить. В этом случае говорят о возмущенных решениях. Возмущения вносят непреднамеренные отклонения параметров исходной математической модели, вызванные систематической, инструментальной и случайной погрешностями.

В общем виде математическую модель динамического объекта представляют в виде неявно записанной системы дифференциальных уравнений первого порядка:

,

где  - переменные состояния и их производные, являющиеся функциями времени.

Параметрами этой системы являются константы , входящие в различные функциональные образования математической модели. В процессе преобразования исходной системы в систему с машинными переменными и выполнения условий подобия, структура исходной математической модели с ее реальными переменными будет воспроизведена точно, а в константы будут внесены погрешности. Общий вид возмущенной системы запишем так:

,

где  - параметры математической модели, получившие абсолютную  (относительную ) погрешность.

Решения преобразованной системы будут функциями времени , зависящими от m параметров. Поэтому общее выражение возмущенной системы  необходимо рассматривать как функцию функций времени и параметров.

Частные производные по параметру от функций, являющихся решениями, называют функциями чувствительности:

Разложим неявную форму возмущенной системы  в ряд Тейлора по -му параметру и ограничимся в нем лишь слагаемыми с первыми степенями приращений:

,

или

,

где     - значения функций соответственно при возмущенном  и невозмущенном  параметре.

Преобразованию Тейлора подвергается каждое уравнение или соотношение системы в отдельности. Частные производные в них берутся лишь от присутствующих в выражении переменных.

Частные производные  по переменным   можно заменить частными производными , так как структуры систем уравнений  и  одинаковы. Из полученного ряда выделим приращение функции, вызванное изменением j-го параметра:

Подставив вместо приращения параметра  его абсолютную погрешность, получим выражение для оценки той части абсолютной погрешности вычислений, которая инициируется погрешностью этого параметра.

Производные функций чувствительности более высокого порядка появятся в выражении погрешности тогда, когда уравнения системы будут содержать переменные соответствующего порядка.

Разделим левую и правую части последнего выражения на приращение параметра. Устремляя величину приращения к нулю, получим в пределе частную производную функции по параметру . Эта производная является функцией чувствительности и будет входить в другие дифференциальные выражения и соотношения между прочими функциями чувствительности исходной системы уравнений:

Дифференцирование исходной системы по параметру, влияние которого на точность вычислительной модели необходимо оценить, приводит к построению системы уравнений чувствительности. Совместное решение исходной системы и уравнений чувствительности позволяет в любой момент времени использовать текущие значения коэффициентов. С помощью функций чувствительности решают прямую и обратную задачу оценки погрешности:

• Какова погрешность результата, если известны погрешности установки исходных параметров?
• С какой точностью должны быть установлены параметры, чтобы погрешность результата не превысила заданной?