Передаточная функция линейного операционного блока

Топология заданной RC-цепи описывается матрицей инциденций вершин и ребер. Для того, чтобы безошибочно связать параметры электрической цепи с элементами топологического описания последней, введем однозначные обозначения на схеме и правила заполнения компонентами векторов и матриц для уравнения узловых потенциалов.

Вершинами графа будут узлы схемы, в которых потенциалы относительно общей точки неизвестны. Их необходимо пронумеровать числами натурального ряда от нуля до n. Общая точка обозначается нулем. Вершины друг с другом соединены элементарными ветвями - ребрами.

К ребру (элементарной ветви) отнесем источник  ЭДС, если он присутствует, и последовательно присоединенную к нему проводимость. Дадим им обозначения  и . Здесь k и l ( ) являются номерами узлов, между которыми включена ветвь,  а   - номер параллельной ветви, включенной между этими же узлами k и l.

Порядок записи номеров k и l в индексе должен отражать произвольно выбранное направление тока по ветви. Истинное направление тока, будет определяться знаком числового результата. Знак минус будет свидетельствовать о том, что первоначально выбранное направление тока на самом деле противоположное.

Используя введенные на схеме обозначения, формируем ()-матрицу Y из проводимостей , записанных в произвольном порядке. Для однозначного соответствия исходных обозначений проводимостей введенным обозначениям, запишем и ()-матрицу YD данных (в символьном или числовом виде).

Для n узлов и m ветвей составляется ()-матрица инциденций. Строкам сверху вниз соответствуют номера узлов от единицы до n, а столбцам - обозначения проводимостей ребер в том порядке, в котором они записаны в ()-матрице проводимостей Y.

На пересечении каждой i-той строки (i = 1, 2, ... , n) и каждого   столбца матрицы инциденций записывается элемент множества  {0, 1, -1} в соответствии со следующими условиями:

 0 ,  если  i  не равно индексам k, l;

1 ,  если  i  равно индексу k;

-1 ,  если  i  равно индексу l.

Воздействие на схему задается ()-матрицей E источников ЭДС в ветвяхи ()-матрицей Jузловых задающих токов. Искомой является ()-матрица узловых потенциалов V с компонентами Vi .

Компонента    в матрице E  соответствуют источнику  ЭДС  в k,l-той ветви, где последовательно с ней включена проводимость . Записывается компонента со знаком “+”, если направление ЭДС и тока в ветви совпадают, и со знаком минус - в противном случае.

Компонента  в ()-матрице J представляет в общем случае алгебраическую сумму токов от задающих источников тока, которые подключены к i-тому узлу. Компонента  вписывается со знаком "+", если ток источника направлен в узел, и со знаком минус, если ток направлен от узла. Любой источник тока, включенный между узлами k и l, представляется двумя одинаковыми последовательно включенными источниками тока, средняя (общая) точка которых соединена с нулевым узлом.

Матричное уравнение, из которого находится ()-матрица узловых потенциалов V, записывается так:

 ,

где     - ()-матрица узловых проводимостей;

 - диагональная ()-матрица, на главной диагонали которой записаны компоненты ()-матрицы проводимостей Y , а остальные элементы равны нулю;

J - ()-матрица узловых задающих токов;

 - ()-матрица эквивалентных узловых токов;

- транспонированная () матрица инциденций.

Пример: На рисунке 5 приведена электрическая схема, включающая в себя межузловые параллельно включенные ветви с источниками и без источников ЭДС и задающий источник тока J_12, ток в котором направлен от узла 1 к узлу 2.

Источник тока заменяем двумя одинаковыми по величине источниками тока с прежним направлением тока: J1_10 и J1_02. Соединив их общий узел с нулевой точкой, получим в результате, что из узла 1 вытекает, а в узел 2 втекает тот же самый ток, что и при одном межузловом источнике.

Для этой схемы названные матрицы с рекомендованными обозначениями их компонент в нотации пакета DERIVE запишутся так:

Процедура (утилита) решения матричного уравнения в операторах пакета DERIVE может быть представлена в следующем виде:

В строке 6 слева записан оператор функции с формальными параметрами, решающий матричное уравнение узловых потенциалов, а справа – определение функции этого оператора.

В качестве фактических параметров для схемы рисунка 5 возьмем конкретные числовые значения проводимостей и ЭДС ветвей и узловых задающих токов в следующем представлении:

Исполнив процедуру с фактическими параметрами, получим следующую матрицу значений узловых потенциалов:

Единицами измерения в примере были: для сопротивлений - Ом, для напряжений - Вольт и для токов - Ампер.

Получение символьного выражения передаточной функции пассивной схемы с операционным усилителем выполним для схемы, приведенной на рисунке 6.

Все конденсаторы и сопротивления имеют свои схемные обозначения. Проводи-мости всех элементов для удобства составления матричных компонент уравнения узловых потенциалов пронумерованы с учетом выбранного в них направления тока.

Схема имеет 3 внутренних узла, для которых необходимо найти в общем виде операторные выражения в виде функций преобразованных по Лапласу входного и выходного напряжений. Параметрами этих выражений должны быть символьные обозначения компонентов в операторной форме. Пятая строчка приведенных матричных данных как раз и представляет значения схемных проводимостей в операторном виде. Здесь они выражены формулами с одинаковыми значениями  R  и  C .

Матрица задающих токов в данном примере равна нулю.

Подставив матрицы в качестве фактических параметров в оператор решения уравнения узловых потенциалов и выполнив его, получим:

Каждый узловой потенциал в результирующей матрице решения является функцией входного  Ui  и выходного  Uo  напряжений. Теперь задача состоит в том, чтобы связать формульной зависимостью выходное напряжение усилителя  Uo  и напряжение на его входных клеммах. Последнее представляется разностью двух потенциалов: потенциала Up не инвертирующей входной клеммы и потенциала Un инвертирующей входной клеммы. В рассматриваемом примере  Up = 0,  а  Un = U1.

Если обозначить передаточную функцию операционного усилителя через  K(p), то в общем случае операторное выражение для напряжения на выходе можно записать так:

Uo = K(p) ( Up - Un ).

Для бесконечно большого и чисто вещественного коэффициента усиления усилителя в диапазоне частот входных сигналов разность входных потенциалов приближенно полагают равной нулю: Up - Un=0.

По отношению к рассматриваемой схеме, для установления зависимости Uo = F(Ui) достаточно приравнять нулю U1 и разрешить полученное уравнение относительно Uo .

Оператор-функция RHS(...) в DERIVE версии 4.02 из логических соотношений вычленяет правую часть. В качестве логического соотношения в рассматриваемом примере выбирается первая строка первого столбца матрицы решения, на что указывают индексы в квадратных скобках у аргумента функции RHS.

Легко получаются и передаточные функции операционного блока, если вход операционного усилителя подключить к узлу 2 или 3. Для этого в операторе решения достаточно изменить индекс строки, например :

И, наконец, приведем без особых пояснений еще один пример для схемы рисунка 7, задав для обозначенных на схеме конденсаторов и  сопротивлений следующие операторные значения:

Исходные матрицы для этой схемы будут иметь вид:

Выражение для потенциала в узле 2 и соотношение выход/вход всего операционного блока:

В полученное в результате решения символьное выражение подставим ,   и  .

Таким образом, задавая символьные обозначения в операторной форме исходным компонентам и предполагая нулевые начальные условия на реактивных (накопительных) электрических компонентах, в результате последовательных преобразований внешней схемы усилителя или применением метода узловых потенциалов можно получить передаточную функцию операционного блока по одному из выбранных входов в пассивную электрическую цепь.