Определение конечных разностей

Конечная разность "вперед" для таблично заданной функции в i-той точке определяется выражением:  , где  - функция целочисленного аргумента с единичным шагом по аргументу i.

Для аналитически заданной и протабулированной с постоянным шагом h функции f(x) определяющее соотношение имеет вид:

 f(x) = f(x+h) - f(x).

Преобразование таблицы функции f(x) в функцию целочисленного аргумента g(i) осуществляют при помощи соотношения .

Повторные конечные разности  n-го  порядка вi-той точке для табличной функции g(i) определяются соотношением [3]:

.

Линейность оператора  позволяет ввести конечно-разностный оператор сдвига E=(1+ ) и конечно-разностные многочлены от :

          и т.п.,

где     должно рассматриваться в качестве оператора повторной разности  k-го  порядка.

Применение оператора сдвига к g(i) преобразует последнее в

g(i+1) = E g(i) = (1+) g(i)= g(i) + g(i).

Повторное применение оператора сдвига позволяет выразить ординату функции g(i) в точке (i+n) через разности различных порядков:

,

где     - число сочетаний изn элементов по k;

 - многочлен степени k от целой переменной n ( ). Многочлен имеет kсомножителей и, если k=n, то . Поэтому многочлен называют факториальным.

Функция целочисленной переменной g(n) при  (начало таблицы, начало координат) представляется конечно-разностным многочленом с повторными разностями “вперед” различных порядков (от 0 до n), вычисленных в точке начала координат. Если функция f(x), а, следовательно, и g(n) в интервале [0,n] описываются степенным многочленом степени n, то их повторные разности выше n-го порядка равны нулю. В результате имеем формулу разложения таблично заданной функции по факториальным многочленам (интерполяционная формула Ньютона для равных интервалов):

 .

С другой стороны, так как , то

.

Таким образом, повторная конечная разность порядка n может быть выражена взвешенной алгебраической суммой ординат таблично заданной функции.