Взаимосвязь операторов разности и дифференцирования

Значение функции на удалении h от некоторой точки выражается рядом Тейлора через производные в этой точке:

где - оператор дифференцирования по переменной x;

- оператор сдвига, как функция оператора p;

hx - шаг по оси действительной переменной x.

Из равенства конечно-разностного и непрерывного операторов сдвига получаем взаимосвязь линейных операторов pи :

Оператор дифференцирования n-го порядка по x, примененный к функции в точке, находящейся на 2 шага впереди, запишется так:

Если алгебраически перемножить многочлены с конечно-разностными операторами и ограничиться операторами со степенью не выше n, то получится одна из возможных аппроксимаций оператора дифференцирования. Например, для n=2 и четырех точечном задании функции f(x), отбросив повторные разности выше третьего порядка, получим:

Выразив повторные разности через ординаты табличной функции, получим второй вариант аппроксимации оператора дифференцирования:

Для функции g(i) с целочисленным аргументом ( ) запись выглядит проще, так как , например:

Для k-той производной в точке m от начала интервала [0,n]:

После выполнения операций возведения многочленов в фигурных скобках в степень и их перемножения, конечные разности со степенями больше n отбрасываются, как равные нулю, а оставшиеся заменяются выражением . После раскрытия скобок, замены на и приведения подобных членов, получим аппроксимирующую сумму с (n+1)-ой ординатой функции:

Коэффициенты минимальны для точек середины интервала (m=[n/2]) и максимальны - для крайних (m=0, m= n). Аналогично ведут себя и коэффициенты в выражении для погрешности аппроксимации.

Таким образом, для любой внутренней точки из выбранной группы n равномерно расположенных ординат можно сформировать аппроксимирующее выражение для k-той производной функции по действительной переменной или для конечной разности k-того порядка решетчатой функции целочисленного аргумента.

В таблицах 3-6 приведены коэффициенты аппроксимирующих выражений первой и второй производной по трем и пяти ординатам для каждой точки интервала [3].

Таблица 3. - Трех точечная аппроксимация первой производной