Частотный анализ дискретных интеграторов

Теперь выполним оценку погрешности амплитуды и фазы цифровых интеграторов. Для этого передаточные функции преобразуем заменой p на jw в комплексные коэффициенты передачи. Модуль комплексного коэффициента передачи даст зависимость амплитуды гармонического сигнала от угловой частоты входного сигнала, а отношение мнимой и вещественной составляющих комплексного коэффициента передачи определит зависимость фазового сдвига от частоты.

.

Преобразуем комплексный коэффициент передачи интегратора по Эйлеру в показательную форму комплексного числа.

В выражении фазового сдвига второе слагаемое представляет абсолютную погрешность по фазе, как функцию частоты и шага дискретизации. Фазовую погрешность можно выразить и через число n точек дискретизации, приходящихся на один период максимальной по частоте гармонической составляющей:

.

Частотная зависимость модуля комплексного коэффициента  передачи после тригонометрических преобразований окажется следующей:

Если синус малого угла представить разложением в степенной ряд, из которого вынести за скобки произведение угловой частоты на шаг дискретизации по времени, то выражение для модуля будет таким:

.

Множитель перед дробью является модулем комплексного коэффициента передачи идеального интегратора, поэтому все слагаемые в скобках (кроме единицы) определяют относительную погрешность цифрового интегратора по амплитуде:

.

Например, при 10 точках дискретизации на период относительное увеличение амплитуды составит 1,5%. Для гармоник с более длинным периодом относительная погрешность будет меньше.

Оценку погрешности по амплитуде и фазе выполним и для цифрового интегратора, выполняющего вычисления по формуле трапеций.

,

где    j - фазовый сдвиг для любой гармоники, равный

Модуль коэффициента передачи для формулы трапеций:

Относительная погрешность по амплитуде практически такая же, как и в формуле прямоугольников, но другого знака.

Сами по себе погрешности отдельного интегратора не могут дать однозначного ответа об их влиянии на вычислительный процесс конкретной задачи. Поэтому любой физически или программно реализованный операционный блок для интегрирования подвергают тестированию в схеме математического моделирования контрольной задачи.