Кольцевой тест для интегратора по формуле Эйлера

Подставим в уравнение кольцевого теста передаточную функцию цифрового интегратора, выполняющего интегрирование по формуле прямоугольников и преобразуем полученное уравнение в конечно-разностное.

.

Вспоминая, что оператор  z=1/E  и  Eyi=yi+1 , последнее уравнение перепишем в следующей форме:

.

Решением этого разностного уравнения является взвешенная сумма двух частных решений в базисе показательных функций:

.

Подставив показательную функцию  с неизвестным основанием в разностное уравнение, мы получим характеристическое уравнение, из которого найдем конкретные значения p1 и p2. Весовые коэффициенты будут найдены в результате подстановки в общее решение заданных значений в конкретных точках.

Характеристическое уравнение и корни для рассматриваемого разностного уравнения имеют следующий вид:

;

Общее решение с найденными корнями будет выглядеть так:

Для нахождения двух неизвестных констант зададим значения общего решения в двух точках, например,  и , и подставить их в это выражение:

Так как в рассматриваемой кольцевой структуре мы надеемся получить решение в виде синусоиды, то в начальный момент для этой синусоиды амплитуда  может быть принята равной нулю, а в k-тый - ее максимальному значению, т.е. . Тогда общее решение примет следующий вид:

.

Максимальное значение синус принимает, когда аргумент его равен , поэтому  - есть шаг по периоду генерируемой синусоиды.

Подставив это значение в решение, получим

Из полученного выражения видно, что амплитуда синусоиды с каждым шагом возрастает в геометрической прогрессии. Для оценки погрешности важно найти относительное изменение амплитуды за один полный период

Величина  определяется выбранным количеством точек на один период синусоидального колебания и, например, при 100 точках на период будет иметь значение около 0,004. Величина же k представляется четвертью числа точек на период, т.е. 25.

Разложив выражение в скобках по правилам бинома Ньютона, получим:

 .

Из суммы для относительной ошибки на длительности одного периода оставлено лишь первое слагаемое, так как выражение в скобках величина малая, то ее степени выше второй превращают слагаемые величины в значения более высокого порядка малости.

Если задать величину допустимой погрешности по амплитуде, то из последнего выражения получим оценку минимального количества точек на период, обеспечивающих нужную точность интегрирования двумя последовательно включенными интеграторами:

Безразмерный коэффициент  определяет период генерируемой синусоиды в квантах времени  или частоту . Здесь  - количество дискретных интервалов времени, укладывающихся в одном периоде синусоиды, а  - угловая частота квантования процессов.