Синтез блока для вычисления частной производной

Моделирование дискретных процессов, получаемых в результате применения методов последовательного приближения с постоянным шагом, может включать в вычисляемые выражения частные производные воспроизводимых функций по другим функциям, воспроизводимым с дифференцируемыми функциями одновременно. В дискретном случае одновременное воспроизведение нескольких функций предполагает запоминание в один и тот же момент времени амплитуды всех участвующих в вычислениях функций.

Примерами итерационных процессов, в которых используются производные, могут служить градиентные методы поиска нулей многомерных функций, к которым сводятся многие задачи условной и безусловной оптимизации. В одномерном случае хорошо известна градиентная итерационная процедура Ньютона для вычисления корня уравнения, которая представляется в следующем виде:

В многомерном случае - это градиентные уравнения оптимизации:

,

где     - критериальный квадратичный функционал;

 - вектор параметров оптимизации.

Если, например, на интервале  приведенные соотношения с дифференциалами заменить приращениями функций, которые затем заменить двухточечными и многоточечными аппроксимирующими выражениями из таблицы 1, то получим следующие конечно-разностные выражения:

 ;

В системе уравнений константа  определяет скорость сходимости оптимизационного процесса.

Построим операционный блок, моделирующий итерационную процедуру Ньютона, и применим его для моделирования процесса решения уравнения , в котором некоторая функция  равна константе .

Чтобы построить модель операционного блока, моделирующую вычислительный процесс по этой формуле, необходимо предусмотреть в схеме две линейки из последовательно включенных фиксаторов нулевого порядка (блоков выборки-хранения), которые в один и тот же момент вырабатывали бы на своих выходах три значения функции, являющейся аргументом, и три значения функции, нуль которой отыскивается. Выходы фиксаторов необходимо подать на соответствующие алгебраические сумматоры с тремя входами у каждого, а результаты суммирования вместе с очередными значениями аргумента и функции подставить в выражение вычисляемого источника напряжения, представляющего новое значение аргумента. Схема такого итерирующего блока показана на рисунке 33.

Блоки задержки X9, X10 хранят значения функции , полученные в моменты времени  и . Сумматор Х8 вырабатывает алгебраическую сумму, соответствующую конечно-разностному выражению дифференциала функции dFi:  

.

Аналогично формируется дифференциал функции, являющейся аргументом, на блоках Х11, Х12, Х4.

Рисунок 33. Схема модели итератора.

На схеме рисунка 33 функция, нуль которой последовательными приближениями будет определяться, формируется на функциональном источнике Е2 как разность напряжения, подводимого к клемме PIN1, и некоторого константного напряжения, являющегося формальным параметром в макроопределении синтезируемого блока:

.

Функциональный источник Е1 вырабатывает напряжение нового значения аргумента по результату вычисления следующего выражения:

.

После задержки по времени на один шаг h, который необходим для вычисления нового значения функции во внешнем устройстве, значение нового аргумента через клемму PIN2 выводится на внешнее устройство.

Работа итератора и внешнего устройства синхронизируются одним из блоков выборки-хранения (X4) через выходную клемму PIN3, если в этом возникает потребность.

Схемное обозначение макро блока итерации, созданное с использованием соответствующих редакторов, показано на рисунке 34.

В результате синтеза схем моделей операционных блоков вся необходимая среда для гибридного моделирования краевых задач уже подготовлена и можно перейти к вопросам их программирования и решения.