Односторонняя функция

В информатике, односторонней функцией является функция, которую легко вычислить на каждом входе, но сложно найти прообраз элемента области значений функции. Здесь "легко" и "сложно" следует понимать с точки зрения теории сложности, в частности теории проблемы полиномиального времени. То, что функция не является биекцией, не является достаточным, чтобы функция была односторонней.

Существование таких односторонних функций до сих пор является открытой проблемой. С их существованием вытекает утверждение, что классы сложности P и NP не равны. Современная асимметричная криптография основывается на предположении, что односторонние функции все же существуют.

В прикладном контексте, термины "легко" и "сложно", как правило, интерпретируются как "довольно дешево для легитимных пользователей" и "слишком затратно для несанкционированных агентов". Односторонние функции, в этом смысле, являются основными инструментами криптографии, идентификации личности, аутентификации, и других составляющих безопасности данных.

Теоретическое определение

Функция f : {0, 1} N ? {0, 1} * является односторонней, если f может быть вычислена алгоритмом полиномиальной сложности, но для каждого произвольного, полиномиальной сложности, алгоритма A выполняется:

для любого положительного, многочлен р ( n) и достаточно больших n , считая, что x выбирается по равномерным распределением из {0, 1} n и случайности A.

Отметим что, по этому определению должен быть "сложной" для обращения в среднестатистическом случае, а не в худшем, в отличие от теории сложности, где под сложным обычно понимают сложное в худшем случае.

Отметим снова, что просто сделать функцию не биекцией не делает ее односторонней функцией. В этом контексте, обращение функции, определение хоть какого-то одного прообраза заданного значения, что не требует существования обратной функции. Например, f (x) = x 2 не является обратимой (например, f (2) = f (-2) = 4), но также не является односторонней, ибо для любого значения можно вычислить один из элементов его прообраза при полиномиальном времени, взяв его квадратный корень.

Универсальная односторонняя функция

Существует явная функция, которая является односторонней, тогда и только тогда, когда односторонние функции существуют. Так как эта функция была первой, найденной комбинаторно полной односторонней функцией, она известна как "универсальная односторонняя функция". Задача определения существования односторонних функций, таким образом, сводится к задаче доказательства того, что данная функция является односторонней.