Тема 6.5. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі

Означення 7.4.Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійним, якщо і сама невідома функція і її похідна входять в це рівняння лише у першому степені й не містять їх добутку.

Загальний вигляд лінійного рівняння першого порядку

(7.16)

Якщо у рівнянні (7.16) права частина функція не дорівнює тотожньо нулю, то таке рівняння називають лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням першого порядку.

Якщо ж , то рівняння

(7.17)

називають лінійним однорідним диференціальним рівняннм першого порядку.

Розглянемо один із можливих методів розв’язання лінійного диференціального рівняння першого порядку.

Шукаємо розв’язок лінійного рівняння у вигляді добутку двох функцій х

(7.18)

Тим самим шуканими стають функції , одну з яких можна вибрати довільно, а друга – має визначатися рівнянням.

Диференціюємо обидві частини цієї рівності

Підставимо вирази для і у рівняння (7.16). Маємо

,

або

.

Підберемо функції u i v так, щоб виконувалися рівності

.

Звідси

Остаточно дістанемо загальний розв’язок рівняння (7.16) у вигляді

.

Приклад.

Зінтегрувати диференціальне рівняння

Розв’язання. Це лінійне неоднорідне рівняння першого порядку. Зведемо його до вигляду (7.16) (хоча це необов’язково). Для чого обидві частини рівняння помножимо на х. Дістанемо

.

Покладемо

.

Диференціюємо цю рівність по х:

.

Замінимо в рівнянні їх виразами через u i v, маємо

Згрупуємо члени, що містять функцію u, і винесемо цю функцію за дужки. Дістанемо:

Знайдемо тепер таку функцію v, щоб

(1)

За цієї умови, маємо

(2)

Розв’яжемо рівняння (1), відокремивши змінні:

.

За означенням логарифма

Підставляючи знайдене значення v в рівняння (2), дістанемо

або

Це рівняння з відокремлюваними змінними. Розв’язавши його, знайдемо

Остаточно загальний розв’язок рівняння дістанемо у вигляді

.

До лінійного рівняння заміною зводять так зване рівняння Бернуллі

(6.19)