Тема 6.4 Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Функцію називають однорідною функцією виміру m відносно своїх аргументів х і у, якщо вона справджує тотожність

, (7.12)

де t - ,будь-який множник.

Так, наприклад, функції , однорідні: перша – третього виміру, друга – другого виміру і третя – першого виміру.

Означення 7.3.Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо його права частина функція є однорідною функцією нульового виміру відносно своїх аргументів х і у.

Інтегрування однорідного рівняння (7.12) за допомогою спеціальної підстановки зводиться до інтегрування рівняння з відокремлюваними змінними.

Насправді, враховуючи нульовий вимір однорідності функції , для будь-якого t маємо

. Зокрема, покладемо , дістанемо:

Рівняння (7.12) запишеться у вигляді

Введемо нову невідому функцію и задопомогою підстановки:, .

Дістанемо рівняння

в якому змінні відокремлюються:

(7.13)

Звідси знаходимо загальний інтеграл рівняння у вигляді:

де С - довільна стала.

Насамкінець, після обчислення інтегралів і заміни допоміжної функції и її виразом через х і у, знайдемо розв’язок однорідного рівняння.

Приклад.

Зінтегрувати рівняння

Розв’язання. Це однорідне диференціальне рівняння першого порядку. Застосуємо підстановку

, ,

тоді

- рівняння з відокремлюваними змінними відносно и. Розв’зуючи його, дістанемо

загальний розв’язок рівняння.

Зауваження. Рівняння виду

(7.14)

в якому функції та - однорідні відносно своїх аргументів х і у функції одного і того ж виміру є однорідним і заміною зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними.