русс | укр

Мови програмуванняВідео уроки php mysqlПаскальСіАсемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование


Linux Unix Алгоритмічні мови Архітектура мікроконтролерів Введення в розробку розподілених інформаційних систем Дискретна математика Інформаційне обслуговування користувачів Інформація та моделювання в управлінні виробництвом Комп'ютерна графіка Лекції


Тема 6.4 Однорідні диференціальні рівняння першого порядку


Дата додавання: 2015-01-08; переглядів: 8305.


Функцію називають однорідною функцією виміру m відносно своїх аргументів х і у, якщо вона справджує тотожність

, (7.12)

де t - ,будь-який множник.

Так, наприклад, функції , однорідні: перша – третього виміру, друга – другого виміру і третя – першого виміру.

Означення 7.3.Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо його права частина функція є однорідною функцією нульового виміру відносно своїх аргументів х і у.

Інтегрування однорідного рівняння (7.12) за допомогою спеціальної підстановки зводиться до інтегрування рівняння з відокремлюваними змінними.

Насправді, враховуючи нульовий вимір однорідності функції , для будь-якого t маємо

. Зокрема, покладемо , дістанемо:

Рівняння (7.12) запишеться у вигляді

.

Введемо нову невідому функцію и задопомогою підстановки: , .

Дістанемо рівняння

,

в якому змінні відокремлюються:

(7.13)

Звідси знаходимо загальний інтеграл рівняння у вигляді:

де С - довільна стала.

Насамкінець, після обчислення інтегралів і заміни допоміжної функції и її виразом через х і у, знайдемо розв’язок однорідного рівняння.

Приклад.

Зінтегрувати рівняння

.

Розв’язання. Це однорідне диференціальне рівняння першого порядку. Застосуємо підстановку

, ,

тоді

- рівняння з відокремлюваними змінними відносно и. Розв’зуючи його, дістанемо

-

-

загальний розв’язок рівняння.

Зауваження. Рівняння виду

(7.14)

в якому функції та - однорідні відносно своїх аргументів х і у функції одного і того ж виміру є однорідним і заміною зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними.

Приклад.

Зінтегрувати рівняння

.

Розв’язання. Це рівняння однорідне. Заміна

,

приводить його до рівняння

- з відокремленими змінними.

Інтегруючи, знаходимо

; ;

Підставивши дістаємо,після перетворень, загальний інтеграл вихідного рівняння

.

Вкажемо, нарешті, один клас рівнянь, які зводяться до однорідного:

(7.15)

Для цього досить зробити заміну

,

де вибрати параметри і так, щоб

.

Вправи

Зінтегрувати диференціальні рівняння:

1. (Відповідь: )

2. (Відповідь: )

3. (Відповідь: )

4. (Відповідь: )


<== попередня лекція | наступна лекція ==>
Тема 6.3Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними | Тема 6.5. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі


Онлайн система числення Калькулятор онлайн звичайний Науковий калькулятор онлайн