Функцію називають однорідною функцією виміру m відносно своїх аргументів х і у, якщо вона справджує тотожність
, (7.12)
де t - ,будь-який множник.
Так, наприклад, функції , однорідні: перша – третього виміру, друга – другого виміру і третя – першого виміру.
Означення 7.3.Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо його права частина функція є однорідною функцією нульового виміру відносно своїх аргументів х і у.
Інтегрування однорідного рівняння (7.12) за допомогою спеціальної підстановки зводиться до інтегрування рівняння з відокремлюваними змінними.
Насправді, враховуючи нульовий вимір однорідності функції , для будь-якого t маємо
. Зокрема, покладемо , дістанемо:
Рівняння (7.12) запишеться у вигляді
.
Введемо нову невідому функцію и задопомогою підстановки: , .
Дістанемо рівняння
,
в якому змінні відокремлюються:
(7.13)
Звідси знаходимо загальний інтеграл рівняння у вигляді:
де С - довільна стала.
Насамкінець, після обчислення інтегралів і заміни допоміжної функції и її виразом через х і у, знайдемо розв’язок однорідного рівняння.
Приклад.
Зінтегрувати рівняння
.
Розв’язання. Це однорідне диференціальне рівняння першого порядку. Застосуємо підстановку
, ,
тоді
- рівняння з відокремлюваними змінними відносно и. Розв’зуючи його, дістанемо
-
-
загальний розв’язок рівняння.
Зауваження. Рівняння виду
(7.14)
в якому функції та - однорідні відносно своїх аргументів х і у функції одного і того ж виміру є однорідним і заміною зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними.
Приклад.
Зінтегрувати рівняння
.
Розв’язання. Це рівняння однорідне. Заміна
,
приводить його до рівняння
- з відокремленими змінними.
Інтегруючи, знаходимо
; ;
Підставивши дістаємо,після перетворень, загальний інтеграл вихідного рівняння
.
Вкажемо, нарешті, один клас рівнянь, які зводяться до однорідного:
(7.15)
Для цього досить зробити заміну
,
де вибрати параметри і так, щоб
.
Вправи
Зінтегрувати диференціальні рівняння:
1. (Відповідь: )
2. (Відповідь: )
3. (Відповідь: )
4. (Відповідь: )