Розв’яжемо лінійне неоднорідне рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами рівняння
. (7.39)
Загальним розв’язком рівняння (7.39) є функція
, (7.40)
де - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння
, (7.41)
характеристичне рівняння якого
(7.42)
а - довільний частинний розв’язок неоднорідного рівняння.
У повних курсах вивчається так званий метод варіації сталих, який дає можливість при будь-якому вигляді неперервної функції дістати частинний розв’язок неоднорідного рівняння.
Ми вкажемо метод знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння з сталими коефіцієнтами (7.37), у випадку правих частин певного частинного вигляду.
Якщо права частина рівняння (7.39) має вигляд
. (7.43)
де і - многочлени з дійсними коефіцієнтами, - дійсні числа (можуть дорівнювати і нулю), то рівняння(7.39) має такий частинний розв’язок
(7.44)
Тут r – кратність кореня для характеристичного рівняння (7.42) (якщо не є коренем характеристичного рівняння, то слід покласти r=0); число ; і - многочлени степеня s з невизначеними коефіцієнтами.
Наведемо таблицю простіших правих частин (7.43) і укажемо вигляд частинного розв’язку за формулою (7.44).
Вигляд правої частини рівняння (6.39)
| Вигляд частинного розв’язку
|
(А – число)
| =В, якщо О не є коренем
характеристичного рівняння (7.42);
=Вх, якщо О є однократним коренем;
=Вх2, якщо О є двократним коренем
(В – число, яке треба обчислити).
|
[ - многочлен n–го степеня]
| , якщо О не є коренем характе-
ристичного рівняння (7.42);
, якщо О є однократним коренем;
,якщо О є двократним коренем
[ - многочлен n-гостепеня, коефіцієнти якого
треба обчислити]
|
(A i a - дійсні числа)
| ,якщо a не є коренем характе-
ристичного рівняння(7.42);
,якщо a є однократним коренем;
, якщо a є двократним коренем
(В – число, яке треба обчислити)
|
[a - дійсне число, - многочлен n-го степеня]
| ,якщо a не є коренем характеристичного рівняння (7.42);
, якщо a є однократним коренем;
,якщо a є двократним коренем[ - многочлен n-го степеня,
коефіцієнти якого треба обчислити ]
|
(с і - дійсні числа)
| ,
якщо не є коренем
характеристичного рівняння
(7.42);
,
якщо є однократним
коренем
(А і В – числа, які треба обчислити)
|
[ - дійсне число, -многочлен n-го степеня]
| ,
якщо не є коренем характе-
ристичного рівняння(6.42);
,
якщо є однократним коренем
[ і – многочлени
n-го порядку, коефіцієнти
яких треба обчислити ]
|
(a і - дійсні числа)
| ,
якщо не є коренем
характеристичного рівняння
(6.42);
,
якщо є однократним
коренем
(А і В – числа, які треба
обчислити)
|
Приклади.
1. Знайти загальний розв’язок рівняння
.
Розв’язання. Загальний розв’язок шукаємо у вигляді
.
В першу чергу знаходимо - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння
.
Характеристичне рівняння має корені . Тому загальний розв’язок однорідного рівняння записуємо у вигляді
.
Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді
.
Щоб обчислити числа А і В, знайдемо і підставимо їх у вхідне рівняння:
.
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х, маємо
Звідси .
Частинний розв’язок такий:
.
Загальний розв’язок рівняння
2. Знайти загальний розв’язок рівняння
.
Розв’язання. Загальний розв’язок однорідного рівняння:
;
.
Частинний розв’язок неоднорідного рівняння:
Загальний розв’язок неоднорідного рівняння
.
Вправи
Знайти загальні розв’язки рівнянь
1. (Відп. )
2. (Відп. )
3. (Відп. )
4. (Відп. )
5. (Відп. )
6. (Відп. )
7. (Відп. )
8. (Відп. )
9. (Відп. )
10. (Відп. )
11. (Відп. )
12. (Відп. )
13. (Відп.