Тема 6.6 . Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами

Розв’яжемо лінійне неоднорідне рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами рівняння

. (7.39)

Загальним розв’язком рівняння (7.39) є функція

, (7.40)

де - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння

, (7.41)

характеристичне рівняння якого

(7.42)

а - довільний частинний розв’язок неоднорідного рівняння.

У повних курсах вивчається так званий метод варіації сталих, який дає можливість при будь-якому вигляді неперервної функції дістати частинний розв’язок неоднорідного рівняння.

Ми вкажемо метод знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння з сталими коефіцієнтами (7.37), у випадку правих частин певного частинного вигляду.

Якщо права частина рівняння (7.39) має вигляд

. (7.43)

де і - многочлени з дійсними коефіцієнтами, - дійсні числа (можуть дорівнювати і нулю), то рівняння(7.39) має такий частинний розв’язок

(7.44)

Тут r – кратність кореня для характеристичного рівняння (7.42) (якщо не є коренем характеристичного рівняння, то слід покласти r=0); число ; і - многочлени степеня s з невизначеними коефіцієнтами.

Наведемо таблицю простіших правих частин (7.43) і укажемо вигляд частинного розв’язку за формулою (7.44).

Вигляд правої частини рівняння (6.39)	Вигляд частинного розв’язку
(А – число)	=В, якщо О не є коренем характеристичного рівняння (7.42); =Вх, якщо О є однократним коренем; =Вх2, якщо О є двократним коренем (В – число, яке треба обчислити).
[ - многочлен n–го степеня]	, якщо О не є коренем характе- ристичного рівняння (7.42); , якщо О є однократним коренем; ,якщо О є двократним коренем [ - многочлен n-гостепеня, коефіцієнти якого треба обчислити]
(A i a - дійсні числа)	,якщо a не є коренем характе- ристичного рівняння(7.42); ,якщо a є однократним коренем; , якщо a є двократним коренем (В – число, яке треба обчислити)
[a - дійсне число, - многочлен n-го степеня]	,якщо a не є коренем характеристичного рівняння (7.42); , якщо a є однократним коренем; ,якщо a є двократним коренем[ - многочлен n-го степеня, коефіцієнти якого треба обчислити ]
(с і - дійсні числа)	, якщо не є коренем характеристичного рівняння (7.42); , якщо є однократним коренем (А і В – числа, які треба обчислити)
[ - дійсне число, -многочлен n-го степеня]	, якщо не є коренем характе- ристичного рівняння(6.42); , якщо є однократним коренем [ і – многочлени n-го порядку, коефіцієнти яких треба обчислити ]
(a і - дійсні числа)	, якщо не є коренем характеристичного рівняння (6.42); , якщо є однократним коренем (А і В – числа, які треба обчислити)

Приклади.

1. Знайти загальний розв’язок рівняння

.

Розв’язання. Загальний розв’язок шукаємо у вигляді

.

В першу чергу знаходимо - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння

.

Характеристичне рівняння має корені . Тому загальний розв’язок однорідного рівняння записуємо у вигляді

.

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді

.

Щоб обчислити числа А і В, знайдемо і підставимо їх у вхідне рівняння:

.

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х, маємо

Звідси .

Частинний розв’язок такий:

.

Загальний розв’язок рівняння

2. Знайти загальний розв’язок рівняння

.

Розв’язання. Загальний розв’язок однорідного рівняння:

;

.

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння:

Загальний розв’язок неоднорідного рівняння

.

Вправи

Знайти загальні розв’язки рівнянь

1. (Відп. )

2. (Відп. )

3. (Відп. )

4. (Відп. )

5. (Відп. )

6. (Відп. )

7. (Відп. )

8. (Відп. )

9. (Відп. )

10. (Відп. )

11. (Відп. )

12. (Відп. )

13. (Відп.