Тема 6.3Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними

Диференціальне рівняння називають рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо його права частина є добутком двох функцій, одна з яких залежить лише від аргумента х, а друга – лише від самої невідомої у:

, (7.6)

Тут ми вважаємо, що функція означена і неперервна для всіх а функція означена, неперервна і не рівна нулю для всіх

Позначимо ; домножимо обидві частини рівняння (7.6) на dx і поділимо на Рівняння прийме вигляд

(7.7)

В так одержаному рівнянні змінні відокремлені: в ліву частину віднесено члени, які містять у і dy, в праву – члени, які містять х і dx.

Безпосередньо (диференціюванням !) встановлюється, що загальним інтегралом рівняння (7.7) є співвідношення

, (7.8)

де С – довільна стала.

Приклад.

Зінтегрувати рівняння

.

Розв’язання.Це рівняння з відокремлюваними змінними. Позначимо = ; домножимо обидві частини рівняння на і розділимо на . Дістанемо рівняння, в якому змінні відокремлені

.

Після обчислення інтегралів, маємо

-загальний розв’язок рівняння.

Зауваження.Рівняння з відокремлюваними змінними можна також задати в симетричній відносно х і у диференціальній формі

(7.9)

де функції неперервні відповідно в інтервалах .

Для знаходження всіх розв’язків такого рівняння ділять обидві його частини на добуток , (7.10)

і інтегрують одержане так співвідношення (7.11)

Якщо для функції і відмінні від нуля, то співвідношення (7.11) є загальним інтегралом рівняння (7.9).

Приклад.

Зінтегрувати рівняння

Розв’язання. Відокремимо змінні (поділимо обидві частини рівняння на ):

Інтегруючи кожен із доданків ( для цього не обов’язково один із них переносити у праву частину), прирівнюємо суму первісних постійній, яку позначаємо через , маємо:

- загальний інтеграл рівняння