Диференціальне рівняння називають рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо його права частина є добутком двох функцій, одна з яких залежить лише від аргумента х, а друга – лише від самої невідомої у:
, (7.6)
Тут ми вважаємо, що функція означена і неперервна для всіх а функція означена, неперервна і не рівна нулю для всіх
Позначимо ; домножимо обидві частини рівняння (7.6) на dx і поділимо на Рівняння прийме вигляд
(7.7)
В так одержаному рівнянні змінні відокремлені: в ліву частину віднесено члени, які містять у і dy, в праву – члени, які містять х і dx.
Безпосередньо (диференціюванням !) встановлюється, що загальним інтегралом рівняння (7.7) є співвідношення
, (7.8)
де С – довільна стала.
Приклад.
Зінтегрувати рівняння
.
Розв’язання.Це рівняння з відокремлюваними змінними. Позначимо = ; домножимо обидві частини рівняння на і розділимо на . Дістанемо рівняння, в якому змінні відокремлені
.
Після обчислення інтегралів, маємо
-загальний розв’язок рівняння.
Зауваження.Рівняння з відокремлюваними змінними можна також задати в симетричній відносно х і у диференціальній формі
(7.9)
де функції неперервні відповідно в інтервалах .
Для знаходження всіх розв’язків такого рівняння ділять обидві його частини на добуток , (7.10)
і інтегрують одержане так співвідношення (7.11)
Якщо для функції і відмінні від нуля, то співвідношення (7.11) є загальним інтегралом рівняння (7.9).
Приклад.
Зінтегрувати рівняння
Розв’язання. Відокремимо змінні (поділимо обидві частини рівняння на ):
Інтегруючи кожен із доданків ( для цього не обов’язково один із них переносити у праву частину), прирівнюємо суму первісних постійній, яку позначаємо через , маємо:
- загальний інтеграл рівняння