русс | укр

Мови програмуванняВідео уроки php mysqlПаскальСіАсемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование


Linux Unix Алгоритмічні мови Архітектура мікроконтролерів Введення в розробку розподілених інформаційних систем Дискретна математика Інформаційне обслуговування користувачів Інформація та моделювання в управлінні виробництвом Комп'ютерна графіка Лекції


Тема 6.1. Невизначені інтеграли від раціональних функцій


Дата додавання: 2015-01-08; переглядів: 1139.


Обчислення інтеграла

від правильного алгебраїчного дробу зводиться до інтегрування функції, що є скінченою сумою простих алгебраїчних дробів чотирьох типів:

1. ; 2. ,

- дійсні числа; - ціле число.

3. 4. ,

А, В, p, q – дійсні числа, - ціле число, .

Вигляд простих алгебраїчних дробів визначається коренями знаменника

Тут можливі такі випадки.

Випадок перший. Корені многочлена Q(x) дійсні й різні: (6.17)

У цьому випадку правильний алгебраїчний дріб можна зобразити у вигляді суми простих алгебраїчних дробів першого типу

, (6.18) де - деякі числа (невизначені коефіцієнти)

Отже,

Приклад

Обчислити інтеграл

І = .

Розв’язання. Дріб

- неправильний. Виділяємо цілу частину

Заданий дріб набуває вигляду

Тоді

Інтеграл

береться від правильного алгебраїчного дробу. Випишемо цей дріб окремо

.

Знаменник дробу розкладемо на прості множники

.

Тоді дріб подамо у вигляді суми простих алгебраїчних дробів

.

Зводимо дроби правої частини до спільного знаменника, ним є многочлен . Відкидаючи спільний знаменник в обох частинах, маємо

Для визначення коефіцієнтів будемо надавати х довільних значень (стільки, скільки невідомих). Дістанемо систему лінійних алгебраїчних рінянь, з якої і визначаються шукані коефіцієнти. Очевидно, що х доцільно надавати значень, які є коренями многочлена в знаменнику. Тоді кожного разу утворюється рівняння з одним невідомим.

Підставимо в рівність замість х послідовно числа . Матимемо

Описаний тут спосіб знаходження невідомих коефіцієнтів називають методом частинних значень.

Знаходимо інтеграл

Отже, шуканий інтеграл дорівнює

І= .

Випадок другий. Корені многочлена дісні і при цьому деякі з них кратні (6.19)

В цьому випадку дріб розкладається на прості дроби першого і другого типів:

(6.20)

Приклад.

Обчислити інтеграл

Розв’язання. Дріб

- правильний, причому знаменник уже розкладено на прості множники. Цей дріб через прості дроби записується так:

Зводимо дроби правої частини до спільного знаменника

Відкидаючи спільний знаменник в обох частинах, маємо

Записавши многочлен, який стоїть у правій частині цієї рівності за спадаючими степенями х, дістаємо

.

Прирівнюючи тепер коефіцієнти при вільний член), матимемо таку систему 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими:

Розв'язуючи цю систему, маємо

Тоді задана підінтегральна функція виразиться через прості дроби так:

Описаний спосіб обчислення невідомих коефіцієнтів у розкладі дробу називають методом невизначених коефіцієнтів.

Отже,

Випадок третій. Серед коренів многочлена є прості комплексні корені:

(6.21)

.

В цьому випадку дріб розкладається на прості дроби першого, другого і третього типів

(6.22)

Приклад.

Обчислити інтеграл

.

Розв’язання. Дискримінант квадратного тричлена від’ємний: . Заданий дріб через прості алгебраїчні дроби записується так:

.

Звідси дістанемо таку тотожність:

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, маємо таку систему рівнянь:

Звідси

Отже,

Випадок четвертий. Серед коренів многочлена є кратні комплексні корені:

(6.23)

Тоді дріб розкладається на прості дроби всіх чотирьох типів.


<== попередня лекція | наступна лекція ==>
Тема 5.2. Найбільше та найменше значення функції | Приклад


Онлайн система числення Калькулятор онлайн звичайний Науковий калькулятор онлайн